Gegeben ist die Kurvenschar mit ein Parameter. Integralberechnung

Question

Gegeben ist die Kurvenschar y=(x-a)^2 + 1mit dem Parameter a∈ℝ⁺₀

a) Für welchen Wert des Parameters a wird der Inhalt der Fläche zwischen Scharkurve, x-Achse, y-Achse und der Geraden mit der Gleichung x=6 ein Extremum?

b) Von welcher Art ist das Extremum und wie groß ist der extremale Flächeninhalt?

c) Die zu dem in a) bestimmten Parameterwert gehörende Kurve, die x-Achse, die y-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=4 begrenzen im 1.Quadranten die Fläche A₀. Ein zur x-Achse paralleler Streifen mit der Breite 1LE soll so gelegt werden, dass er aus der Fläche A₀ ein Flächenstück mit der Inhalt 10/3 FE ausschneidet. Berechnen Sie die Gleichungen der beiden Parallelen, die den Streifen begrenzen.

Answer 1

a) Für welchen Wert des Parameters a wird der Inhalt der Fläche zwischen Scharkurve, x-Achse, y-Achse und der Geraden mit der Gleichung x=6 ein Extremum?

f(x) = (x - a)^2 + 1 = x^2 - 2·a·x + a^2 + 1

F(x) = x^3/3 - a·x^2 + x·(a^2 + 1)

F(6) - F(0) = (6·a^2 - 36·a + 78) - (0) = 6·a^2 - 36·a + 78

A(a) = 6·a^2 - 36·a + 78

A'(a) = 12·a - 36 = 0 --> a = 3

Answer 2

a) Für welchen Wert des Parameters a wird der Inhalt der Fläche zwischen
Scharkurve, x-Achse, y-Achse und der Geraden mit der
Gleichung x=6 ein Extremum?

∫ ( x - a )^2 dx
gf ( x ) = 1 /3 ( x - a )^3

Fläche =  gf ( 6 ) - gf ( 0 )
[ 1 /3 ( x - a )^3 ]₀⁶
1/3 * [ ( 6 - a )^3 - ( 0 - a )^3 ]
1.Ableitung bilden und zu null setzen und a ausrechnen
a = 3

Mit dem Plotter stehe ich auf Kriegsfuß
geht aber noch weiter

Comments

b) Von welcher Art ist das Extremum und wie groß ist der extremale Flächeninhalt?

F ( a ) = 6 * a^2 - 36 * a + 72
F ´ ( a ) = 12 * a - 36
F ´( a ) = 12

Der Extrempunkt ist ein Tiefpunkt

F ( 3 ) = 6 * 9 - 36 * 3 + 72
F ( 3 ) = 18

---

c) Die zu dem in a) bestimmten Parameterwert gehörende Kurve,
die x-Achse, die y-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=4
begrenzen im 1.Quadranten die Fläche A₀.
Ein zur x-Achse paralleler Streifen mit der Breite 1LE soll so gelegt werden,
dass er aus der Fläche A₀ ein Flächenstück mit der Inhalt 10/3 FE
ausschneidet. Berechnen Sie die Gleichungen der
beiden Parallelen, die den Streifen begrenzen.

A0 = 28 / 3

~plot~ ( x - 3 )^2 ; x =4 ~plot~

Ich kann mir derzeit den Sachverhalt noch nicht vorstellen.

---

Also so ? Fülltext.