$$ \text{Gegeben ist die Funktion } f : D \rightarrow \mathbb{ R } \text{ mit } f(x)=\sqrt{ \frac{3+x^2}{x+1}}.\\ \left.\text{a}\right) \text{ Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich } D \text{ von }f.\\ \left.\text{b}\right) \text{ Untersuchen Sie }f\text{ auf lokale und globale Extremstellen.} $$
zu a): Der Radikand darf nicht negativ werden. Da sein Zähler \((3+x^2)\) offenbar immer positiv ist, muss sein Nenner \((x+1)\) auch immer positiv sein, womit er insbesondere auch von Null verschieden ist. Damit ist \(D=\left\{\left.x\in\mathbb{R} \,\right|\, x>-1\right\} = \left]1,\infty\right[. \)
zu b) Da \(f\) dieselben Extremstellen hat, wie die einfacher zu untersuchende Funktion \(g\) mit \(g(x)=\left(f(x)\right)^2\), betrachte ich nun \(g\): Es ist
$$ g'(x) = \frac{2x\cdot (x+1)-\left(3+x^2\right)}{\left(x+1\right)^2} = \frac{(x+3)\cdot(x-1)}{\left(x+1\right)^2} $$Die einzige, im Definitionsbereich liegende Nullstelle von \(g'\) ist also \(x=1\). An dieser Stelle weist \(g'\) einen \((-/+)\)-Vorzeichenwechsel auf, so dass eine lokale Tiefstelle von \(g\) und damit auch von \(f\) vorliegt. Da \(f\) stetig differenzierbar auf \(D=\left]1,\infty\right[\) ist, ist \(x=1\) als einzige lokale Extremstelle auch eine globale Extremstelle und \(T(1|\sqrt{2})\) der absolute Tiefpunkt von \(f\).
