Aloha :)
Du hast bereits bei der Umformung der Wurzelschreibweise in die Potenzschreibweise einen Fehler. Es muss nicht "hoch 2", sondern "hoch \(\frac12\)" heißen:
$$f'(x)=\left(\sqrt{\underbrace{e^{x^2}}_{u}\cdot\underbrace{(\sqrt x+1)}_{v}}\right)'=\left(\left(e^{x^2}\cdot(\sqrt x+1)\right)^{\frac12}\right)'=\left(\underbrace{e^{\frac12x^2}}_{u}\cdot\underbrace{(\sqrt x+1)^{\frac12}}_{v}\right)'$$
Zum Ableiten kannst du nun die Produktregel und die Kettenregel verwenden. Bei der Kettenregel musst du die farblich markierten inneren Funktionen ebenfalls ableiten:$$f'(x)=\underbrace{e^{\pink{\frac12x^2}}\cdot\pink{x}}_{u'}\cdot\underbrace{(\sqrt x+1)^{\frac12}}_{v}+\underbrace{e^{\frac12x^2}}_{u}\cdot\underbrace{\frac12(\blue{\sqrt x+1})^{-\frac12}\cdot\blue{\frac{1}{2\sqrt x}}}_{v'}$$Das Ergebnis kannst du noch vereinfachen:$$f'(x)=\frac{e^{\frac12x^2}}{\sqrt{\sqrt x+1}}\left(x(\sqrt x+1)+\frac{1}{4\sqrt x}\right)$$
