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Aufgabe:

(e) f(x)=3x2+23 f(x)=3 \sqrt[3]{x^{2}+2}

(f) f(x)=xm+4nn,mN f(x)=\sqrt[n]{x^{m}+4} \quad n, m \in \mathbb{N}



Problem/Ansatz:



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Aloha :)

Hier hilft in beiden Fällen die Kettenregel weiter.

f(x)=(3x2+23)=3((x2+2)13)=313(x2+2)23=a¨ußere Ableitung(x2+2)=innere Ableitungf'(x)=\left(3\sqrt[3]{x^2+2}\right)'=3\cdot\left(\left(x^2+2\right)^{\frac13}\right)'=3\cdot\underbrace{\frac13\left(x^2+2\right)^{-\frac23}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{(x^2+2)'}_{=\text{innere Ableitung}}f(x)=(x2+2)232x=2x(x2+2)23=2x(x2+2)23\phantom{f'(x)}=(x^2+2)^{-\frac23}\cdot2x=\frac{2x}{(x^2+2)^{\frac23}}=\frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2+2)^2}}

f(x)=(xm+4n)=((xm+4)1n)=1n(xm+4)1n1=a¨ußere Ableitung(xm+4)=innere Ableitungf'(x)=\left(\sqrt[n]{x^m+4}\right)'=\left((x^m+4)^{\frac1n}\right)'=\underbrace{\frac1n(x^m+4)^{\frac1n-1}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{(x^m+4)'}_{=\text{innere Ableitung}}f(x)=1n(xm+4)1nnmxm1=mnxm1(xm+4)n1n\phantom{f'(x)}=\frac1n(x^m+4)^{\frac{1-n}{n}}\cdot m\,x^{m-1}=\frac{m}{n}\,\frac{x^{m-1}}{(x^m+4)^{\frac{n-1}{n}}}

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Wieso hat äußere Ableitung „ hoch 2/3“?

Beim 2.Beispiel: wie hast du letzte Schritt berechnet?

Die Ableitung ist "hoch 23-\frac23", weil der Exponent ja um 11 vermindert werden muss. Für die äußere Ableitung bedeutet dies:(x2+2)1313(x2+2)131=13(x2+2)23(x^2+2)^{\frac13}\to\frac13\cdot(x^2+2)^{\frac13-1}=\frac13\cdot(x^2+2)^{-\frac23}

Bei der zweiten Aufgabe habe ich ausgenutzt, dass ein Faktor über den Bruchstrich "springt", indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt, zum Beispiel:ab2cd3=ad3cb2\frac{a\cdot b^{-2}}{c\cdot d^{-3}}=\frac{a\cdot d^3}{c\cdot b^2}Im konkreten Beispiel:1n(xm+4)1nnmxm1=mn(xm+4)1nn1mxm1\frac1n(x^m+4)^{\frac{1-n}{n}}\cdot mx^{m-1}=\frac mn\cdot\frac{(x^m+4)^{\frac{1-n}{n}}}{1}\cdot mx^{m-1}=mn1(xm+4)1nnmxm1=mnmxm1(xm+4)n1n=\frac mn\cdot\frac{1}{(x^m+4)^{-\frac{1-n}{n}}}\cdot mx^{m-1}=\frac mn\cdot\frac{mx^{m-1}}{(x^m+4)^{\frac{n-1}{n}}}

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Wurzeln mittels

      an=a1n\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}

in Potenzen umschreiben und dann mittels Kettenregel ableiten.

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f(x)=xm+4nn,mN f(x)=\sqrt[n\:]{x^{m}+4} \quad n,\: m \in \mathbb{N} Zunächst würde ich die Gleichung mit nn potenzieren: (f(x))n=xm+4 \left(f(x)\right)^n=x^{m}+4 Dann ableiten: n(f(x))n1f(x)=mxm1 n\cdot \left(f(x)\right)^{n-1}\cdot f'(x)=m\cdot x^{m-1} Nach ff' umstellen: f(x)=mxm1n(f(x))n1f'(x)=\dfrac{m\cdot x^{m-1}}{n\cdot \left(f(x)\right)^{n-1}} Nun noch f(x)f(x) ersetzen: f(x)=mxm1n(xm+4n)n1f'(x)=\dfrac{m\cdot x^{m-1}}{n\cdot \left(\sqrt[n\:]{x^{m}+4}\right)^{n-1}} und fertig.

Man muss also keineswegs die Wurzel als Potenz umschreiben.

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