Wurzelfunktion differenzieren. Mit welcher Formel und wie lösen

Question

Aufgabe:

(e) \( f(x)=3 \sqrt[3]{x^{2}+2} \)

(f) \( f(x)=\sqrt[n]{x^{m}+4} \quad n, m \in \mathbb{N} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft in beiden Fällen die Kettenregel weiter.

$$f'(x)=\left(3\sqrt[3]{x^2+2}\right)'=3\cdot\left(\left(x^2+2\right)^{\frac13}\right)'=3\cdot\underbrace{\frac13\left(x^2+2\right)^{-\frac23}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{(x^2+2)'}_{=\text{innere Ableitung}}$$$$\phantom{f'(x)}=(x^2+2)^{-\frac23}\cdot2x=\frac{2x}{(x^2+2)^{\frac23}}=\frac{2x}{\sqrt[3]{(x^2+2)^2}}$$

$$f'(x)=\left(\sqrt[n]{x^m+4}\right)'=\left((x^m+4)^{\frac1n}\right)'=\underbrace{\frac1n(x^m+4)^{\frac1n-1}}_{=\text{äußere Ableitung}}\cdot\underbrace{(x^m+4)'}_{=\text{innere Ableitung}}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac1n(x^m+4)^{\frac{1-n}{n}}\cdot m\,x^{m-1}=\frac{m}{n}\,\frac{x^{m-1}}{(x^m+4)^{\frac{n-1}{n}}}$$

Comments

Wieso hat äußere Ableitung „ hoch 2/3“?

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Beim 2.Beispiel: wie hast du letzte Schritt berechnet?

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Die Ableitung ist "hoch \(-\frac23\)", weil der Exponent ja um \(1\) vermindert werden muss. Für die äußere Ableitung bedeutet dies:$$(x^2+2)^{\frac13}\to\frac13\cdot(x^2+2)^{\frac13-1}=\frac13\cdot(x^2+2)^{-\frac23}$$

Bei der zweiten Aufgabe habe ich ausgenutzt, dass ein Faktor über den Bruchstrich "springt", indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt, zum Beispiel:$$\frac{a\cdot b^{-2}}{c\cdot d^{-3}}=\frac{a\cdot d^3}{c\cdot b^2}$$Im konkreten Beispiel:$$\frac1n(x^m+4)^{\frac{1-n}{n}}\cdot mx^{m-1}=\frac mn\cdot\frac{(x^m+4)^{\frac{1-n}{n}}}{1}\cdot mx^{m-1}$$$$=\frac mn\cdot\frac{1}{(x^m+4)^{-\frac{1-n}{n}}}\cdot mx^{m-1}=\frac mn\cdot\frac{mx^{m-1}}{(x^m+4)^{\frac{n-1}{n}}}$$

Answer 2

Wurzeln mittels

      \(\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}\)

in Potenzen umschreiben und dann mittels Kettenregel ableiten.

Answer 3

$$ f(x)=\sqrt[n\:]{x^{m}+4} \quad n,\: m \in \mathbb{N} $$ Zunächst würde ich die Gleichung mit \(n\) potenzieren: $$ \left(f(x)\right)^n=x^{m}+4 $$ Dann ableiten: $$ n\cdot \left(f(x)\right)^{n-1}\cdot f'(x)=m\cdot x^{m-1} $$ Nach \(f'\) umstellen: $$f'(x)=\dfrac{m\cdot x^{m-1}}{n\cdot \left(f(x)\right)^{n-1}}$$ Nun noch \(f(x)\) ersetzen: $$f'(x)=\dfrac{m\cdot x^{m-1}}{n\cdot \left(\sqrt[n\:]{x^{m}+4}\right)^{n-1}}$$ und fertig.

Man muss also keineswegs die Wurzel als Potenz umschreiben.