Ableitung (Wurzelfunktion/Kosinusfunktion)

Question

Hallo, wie bilde ich die Ableitung zur folgender Funktion \( \sqrt[3]{cos(x)^2} \) ?

Answer 1

f(x) = COS(x)^(2/3)

f'(x) = 2/3·COS(x)^(- 1/3)·(- SIN(x))

f'(x) = - 2·SIN(x) / (3·COS(x)^(1/3))

Comments

Hallo, ich habe folgendes raus

= cos(x)^{\( \frac{2}{3} \)} 

= \( \frac{2}{3} \)  cos(x)^{-\( \frac{1}{3} \)}

=  \( \frac{2}{3} \) \( \frac{1}{cos(x)*\frac{1}{3}} \)

⁼ \( \frac{2}{3} \) \( \frac{1}{\sqrt[3]{cos(x)}} \)

ich weiss nicht wo mein Fehler liegt...

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Du hast nur gemäß Kettenregel die innere Ableitung vergessen. Der rest sieht gut aus.

Schreibe aber COS(x)^{1/3} statt COS(x) * 1/3

Answer 2

\( f(x)=\sqrt[3]{\cos ^{2}(x)}=\left(\cos ^{2}(x)\right)^{\frac{1}{3}} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{1}{3} \cdot\left(\cos ^{2}(x)\right)^{\frac{1}{3}-1} \cdot 2 \cos (x) \cdot(-\sin (x)) \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=-\frac{2}{3} \cdot\left(\cos ^{2}(x)\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \cos (x) \cdot \sin (x) \)

Comments

Hallo, gibt es eine bestimme regeln, die man einhalten muss um generell Wurzelfunktionen zu lösen?

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Es gilt die Kettenregel.

cos^2(x)= cos(x)*cos(x) = (cos(x))^2

Potenzgesetz:

(dritte Wurzel aus a^2 ) = (a^2)^(1/3)= a^(2/3)

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1.) \( f(x)=\sqrt[2]{x^{3}}=x^{\frac{3}{2}} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} \)


2.) \( f(x)=\sqrt[5]{x^{4}}=x^{\frac{4}{5}} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{4}{5} \cdot x^{\frac{4}{5}-1}=\frac{4}{5} \cdot x^{-\frac{1}{5}}=\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}=\frac{4}{5 \cdot \sqrt[5]{x}} \)


3.) \( f(x)=\sqrt[2]{e^{x}}=e^{\frac{1}{2} x} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2} x} \)


4.) \( f(x)=\sqrt[5]{\sin (x)}=(\sin (x))^{\frac{1}{5}} \)
\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{1}{5} \cdot \sin (x)^{\frac{1}{5}-1} \cdot \cos (x)=\frac{1}{5} \cdot \sin (x)^{-\frac{4}{5}} \cdot \cos (x) \)

Weiterhin gibt es Ableitungsrechner mit Erklärung im Netz.