Additionstheoreme: Zu finden sind alle reellen Lösungen

Question

Habe mir zunächst alle mir bekannten Additionstheoreme rausgeschrieben:

1) Sin²(x) + Cos²(x) = 1

2) Sin(2x) =  2Cos(x)Sin(x)

3) Cos(2x) = Cos²(x) - Sin²(x)

4) Sin(x + y) = Sin(x)Cos(y) + Sin(y)Cos(x)

5) Cos(x+y) = Cos(x)Cos(y) - Sin(x)Sin(y)

Meine einzige Idee wäre zur a), dass -Sin(2x) = -(2Cos(x)Sin(x)) sein könnte. Ansonsten fehlt mir jeglicher Ansatz und Idee wie ich weiter rechnen könnte. Wäre für jede Hilfe und Tipp dankbar.

Answer 1

Zu 1: Schreibe tan(x) in sinus und cosinus um und beachte die Symmetrie des ganzen. Dann ist das (fast) trivial.

Comments

Zu 2)

Geeignet eingeschränkt helfen die Halbwinkelformeln:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Allgemeine_Trigonometrie_in_der_Ebene

---

Für a) habe ich jetzt:

tan(-x) = -2Cos(x)Sin(x)

Sin(-x)/Cos(-x) =  -2Cos(x)Sin(x)

-Sin(x)/Cos(x) = -2Cos(x)Sin(x)      | *Cos(x)

-Sin(x)   = Cos²(x)*(-2Sin(x))           | : (Cos²(x)

-Sin(x)/Cos²(x)  = -2Sin(x)

-Sin(x)/Cos(x)Cos(x) = -2Sin(x)

-tan(x) * (1/cos(x)) = -2Sin(x)

Die rechte Seite sieht schon mal ganz gut aus. Aber laut der linken Seite hab ich irgendwo einen Fehler :)

---

Streich das - zeichen raus, nimm in der drittletzen Gleichung das cos² auf die andere Seite und teil durch sin(x).

---

Wieso kann ich einfach das - wegstreichen?

Egal wie oft ich es umgeformt habe, ich bekomme entweder Cos²(x) nicht weg oder es bleibt wie hier:

tan(-x) = -2Cos(x)Sin(x)

Sin(-x)/Cos(-x) =  -2Cos(x)Sin(x)

-Sin(x)/Cos(x) = -2Cos(x)Sin(x)      | *Cos(x)

-Sin(x)   = Cos²(x)*(-2Sin(x))          

-Sin(x) = Cos(x)Cos(x)(-2Sin(x))     | : Cos(x)

-Sin(x)/Cos(x) = Cos(x)(-2Sin(x))

Sin(-x)(Cos(-x) = Cos(x)(-2Sin(x))

tan(-x) = Cos(x)(-2Sin(x))

Danke für die Hilfe und schnelle Antwort.

---

es ist

$$-sin(x) = cos^2(x)*-2*sin(x) $$

$$-sin(x) = -2*cos^2(x)sin(x)$$

$$-1*sin(x) = -1*2*cos^2(x)sin(x)$$

$$sin(x) = 2*cos(x)^2*sin(x)$$

$$1=2*cos^2(x)$$

---

Ich bin jetzt einwenig irritiert. Die Rechenschritte sind für mich nachvollziehbar, aber gezeigt werden soll doch tan(-x) = -2sin(x) wieso haben wir nach 1 =... umgeformt?

---

Das soll nicht gezeigt werden, das steht ja schon so. Die Frage ist jetzt für welche x diese Gleichung erfüllt ist.

Ich weiß nicht wie es dir geht, aber aus der Ausgangsgleichung kann ich die nicht ablesen.

Wann hingegen der cosinus 1 ist ist deutlich leichter zu sehen.

---

Meines Erachtens nach darf nicht an dieser Stelle durch Sinus(x) geteilt werden werden, denn Sinus kann jeder Zeit den Wert annehmen.

---

Da die obige Gleichung für 0 erfüllt ist, kann man 0 hier einfach ausschließen. Das spart ungewollte probleme