Wie forme ich die Quadrik-Formel um?

Question

Wie komme ich von der allgemeinen Gleichung der Quadriken:

Ax²+By²+Cz²+Dxy+Exz+Fyz+Hx+Iy+Jz+K=0

zu den Formen des Ellipsoiden: x²/ a² +y²/b²+z²/c²=1

..etc.( und den anderen Quadriken)

Mein Lehrer hat gesagt das erreicht man durch quadratische Ergänzung, jedoch verstehe ich das nicht und ich muss das Thema für meine GFS ausarbeiten. Danke für jede Hilfe:)

Außerdem wollte ich noch frage was die Parameter in der Gleichung bewirken.

Answer 1

Also von $$ (1)  \quad Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + E xz + Fyz + Hx + I y + Jz + K =0  $$ kommst Du auf die andere Form durch die folgende Wahl der Koeffizienten.

\(  A = \frac{1}{a^2} \), \(  B = \frac{1}{b^2} \), \(  C = \frac{1}{c^2} \) und \( D = E = F = H = I = J  = 0 \) und \( K = -1 \)

Was Dein Lehrer meinte mit quadratischer Ergänzung kommt dann zum tragen, wenn der Ellipsoid gedreht im Raumm liegt. D.h. Du musst das Koordinatensystem so drehen, das die Achsen des Koordinatensystems mit den Hauptachsen des Ellipsoid übereinstimmen. Überlicherweise muss man dazu die Eigenwerte der Quadrik ausrechnen.

siehe auch hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik