Linearfaktordarstellung: Wann muss ich "hoch 2" nehmen.

Question

folgende Aufgabe:

x1=0 x2=1 x3,4=3  n=4 an<0

Gleichung:

f(x)= x (x-1) (x-3)

Aufgabe 2

x1,2=-2  x3,4=0  x5,6=2  n=6  an=-1

f(x)= -x^2 (x+2) (x-2)

Woher weiß ich wann ein x^2 vor der gleichung kommt wie bei der 2. Aufgabe und wann nur ein normales x vor der Gleichung kommt?

Ich habe eine Vermutung. Weil bei der ersten nur eine Nullstelle gibt und bei der zweiten Aufgabe zwei und deswegen bei der ersten Aufgabe nur ein x und bei der zweiten x^2, jedoch will ich wissen ob dieser gedankenweg richtig ist.

Answer 1

das ist einiges nicht richtig bzw. unklar. Ich geh davon aus, das Du ein Polynom mit vorgegebenen Nullstellen konstruieren musst. Bei der ersten Aufgabe ist \( 3\) eine zweifach Nullstelle aber in der Polynomdarstellung steht nur der Faktor \( x-3 \) es müsste dort aber ein \( (x-3)^2 \) stehen, da ja \( 3 \) eine zweifache Nullstelle ist. Der Koeffizient \( a_n \) ist kleiner \( 0 \). Bei dem angegebenen Polynom ist aber \(a_n = 1\) Zusammengefasst muss das Polynom lauten

$$  f(x) = a_n  x (x-1) (x-3)^2 $$

Bei der zweiten Aufgabe ist es ähnlich. \( 0 \) ist eine zweifache Nullstelle, also kommt der Term \( x^2 \) vor, dass ist ok. \( -2 \) ist eine zweifache Nullstelle also kommt \( (x+2)^2 \) vor. Und \( 2 \) ist auch eine zweifache Nullstelle, also kommt \( (x-2)^2 \) vor. Da \(a_n = -1 \) gilt sieht das Polynom wie folgt aus

$$ f(x) = -x^2 (x+2)^2 (x-2)^2  $$