Integration von e-Funktionen

Question

ich übe gerade ein wenig für meine mündliche Prüfung in Mathematik, und wiederhole gerade nochmal die Integration von e-Funktionen.

Zum üben schaue ich mir folgendes Video an: https://www.youtube.com/watch?v=x8OFToou4Ns

Ich bin gerade beim ersten Beispiel des Videos und blicke gerade nicht so ganz bei 1:00 durch, wieso die beiden 5en gestrichen werden?

Neben dem Integral-Symbol steht ja die Funktion f(x) = 5e^5x - 1

Würde man das jetzt mal Schritt für Schritt erklären, kommt an das Ende der Stammfunktion das x durch die Ableitung von 1 woraus 1x wird, aber es reicht ja wenn man für 1x nur ein x schreibt. Von dort kommt doch das x, oder nicht?

Die 5 am Anfang und das e^5x braucht man ja nur übernehmen.

Die innere Ableitung verstehe ich nicht so ganz. Die innere Ableitung ist ja die Ableitung vom Exponenten, also von 5x

Die Ableitung von 5x ist 5

Wieso wird dann aber 1/5 geschrieben? Würde man es als Bruch schreiben, wäre das ja eigentlich 5/1 zumal das ganze sinnlos wäre und man könnte doch ganz einfach nur die 5 hinschreiben?

Am Ende bleibt ja nur noch e^5x - x übrig, da sich wie gesagt die 5 1/5 weg gekürzt haben. Doch wieso das weg gekürzt wird, verstehe ich nicht.

Answer 1

Also ich habe → e^5x  -x +C  !

Answer 2

Hallo

wieso die beiden 5en gestrichen werden?

Substitution: z=5x

dz/dx=5

dx=dz/5

eingesetzt:

= int 5 *e^z  *dx/5

=int e^z dz dz

= e^{5x} +C (für das 1.integral)

Answer 3

hier musst du anders herum denken. 
Die innere Ableitung von 5x ist natürlich 5. 
Wir sind hier aber bei dem Integrieren bzw. umgangssprachlich "aufleiten".
Du musst dich also fragen: Was für eine innere Ableitung würde beim Ableiten noch als Faktor vor das e kommen? Antwort: Die 5! Weil wir die aber nicht wollen, weil im Ergebnis ja nur eine 5 dastehen soll (die ja als Faktor einfach übernommen wird) müssen wir beim Integrieren die 5, die durch das ableiten entstehen würde, 'neutralisieren' indem wir eine 1/5 in die Stammfunktion setzen. Weil nun eine 5 und eine 1/5 in der Stammfunktion enthalten sind bleibt im Endeffekt nichts mehr davon übrig.

Wenn wir jetzt die Stammfunktion ganz normal ableiten sehen wir, dass die 5 dann durch die innere Ableitung entsteht. Im Endeffekt erhalten wir unsere Ausgangsfunktion.

Ist das für dich verständlich oder benötigst du noch ein Beispiel? Das sind wichtige Basics, die für die ml-Prüfung sitzen sollten! :)