Integration von 1/wurzel(x) *e^ wurzel(x)?

Question

Ich habe Schwierigkeiten diese Funktion zu integrieren, also die Stammfunktion zu bilden.

Bitte Hilfe mit Lösungswegen, danke :-)

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Vom Duplikat:

Titel: Wie Integriere ich diese Funktion?

Stichworte: integration,stammfunktion,substitution,partielle,wurzel

Wie gehe ich weiter vor? Ist der Ansatz bis jetzt richtig? Bitte mit Lösungsweg und Erklärungen, danke :-)

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Steht e^{√x} unter dem Bruchstrich?

Answer 1

\(  \int \frac{1}{\sqrt{x}} e^{\sqrt{x}}\;dx \)
\( \left|\frac{z=\sqrt{x}}{\frac{d z}{d x} = \frac{1}{2\sqrt x}}\right| \)
\(= \int \frac{1}{z} \cdot e^{z} \cdot 2 \cdot \sqrt{x} d z \\= 2 \int e^{z} d z \quad \text { Ruecksubstitution } \\=2 e^{\sqrt x}+c \)

Answer 2

Substituiere  \( z = \sqrt{x}\) und dann partiell integrieren.

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Kannst du die substitution und partielle integration ausführlich schreiben bitte?

Ich kenne zwar den ablauf aber bei der Funktion habe ich Probleme.

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Hallo. Ich würde diese Art von Integralen ohne explizite Substitution durchführen:

$$ \int\dfrac { 1 }{ \sqrt { x } }\cdot\exp\left(\sqrt{x}\right) \text{ d}x = \\\,\\2\cdot\int\dfrac { 1 }{ 2\cdot\sqrt { x } }\cdot\exp\left(\sqrt{x}\right) \text{ d}x = \\\,\\2\cdot\exp\left(\sqrt{x}\right) + C.$$Man kann das als Spezialfall der Integration durch Substitution auffassen und so in einem allgemeineren Zusammenhang betrachten, muss man aber nicht.

Answer 3

substituiere

√x = z

Ergebnis: F(x)=2*e^{√x}

Answer 4

ja bis hierhin ist alles richtig, jetzt noch kürzen:

=2*e^{z}dz

gibt integriert

2*e^{z}+C

=2*e^{√x} +C

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Was kürze ich womit?

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Die z in den Brüchen (doppelbruch)