Integration Kreisgleichung - Statisches Moment

Question

$$ -\int _{ 0 }^{ z }{ \sqrt { D^{ 2 }-4\tilde { z } ^{ 2 } } \quad \ast  } \tilde { z } \quad d\tilde { z }  $$

Zu berechnen ist das statische Moment eines Halbkreises.

Substitution $$ \tilde { u } =4{ \tilde { z }  }^{ 2 } $$ und $$ d\tilde { u } =8\tilde { z } d\tilde { z }  $$

Wie integriere ich das? Was muss ich bei den Integrationsgrenzen beachten?

Answer 1

Zunächst beachtet man die Grenzen gar nicht, weil sich das meist durch Rücksubstitution ohnehin erübrigt.
$$ \int \quad \sqrt { D^ 2 -4 z  ^2 }  \quad \cdot \quad   z  \quad d z $$

$$u=D^2-4z^2$$
$$\frac {du}{dz}=-8z$$
$$-\frac1 {8z}\frac {du}{dz}=1$$

$$ \int \quad \sqrt { u }  \quad \cdot \frac{-1 }{8z}\frac {du}{dz}\quad   z  \quad d z $$
$$  \frac{-1 }{8}\int \quad \sqrt { u }   \quad d u $$
$$ \frac{-1 }{8}\cdot \frac 23 \cdot u^{\frac 32}+C$$
$$ \frac{-1 }{8}\cdot \frac 23 \cdot (D^2-4z^2)^{\frac 32}+C$$
$$ -\frac{1 }{12} \cdot (D^2-4z^2)^{\frac 32}+C$$