Mittelpunkt und Radius der komplexen Kreisgleichung

Question

Hallo Freunde,

ich beschäftige mich derzeit mit der komplexen Analysis in meiner Freizeit und habe angefangen das Lehrbuch: Complex Analysis von John-M. Howie durchzuarbeiten. In dem zweiten Kapitel des Buchs wird die komplexe Kreisgleichung eingefüht:

$$Αz\overline{z} + Bz + \overline{Bz} + C = 0$$ mit A ungleich 0 und B komplex. Danach wird bewiesen, dass der Mittelpunkt durch folgende Gleichunng gegeben ist:

$$-\frac{\overline{B}}{A}$$. Jedoch komme ich lediglich auf: $$-\frac{{B}}{A}$$. Mein Weg lautet wie folgt: Ich habe z durch x+iy ersetzt und durch A geteilt, da wir voraussetzen, dass A ungleich 0 gilt. Dann ich habe ich die Terme mit dem B zu: $$\frac{2\text{Re}(B)}{A}x$$ und $$\frac{2\text{Im}(B)}{A}iy$$. Anschließend habe ich quadratisch ergänzt und bin dann auf den Mittelpunkt: $$(-\frac{\text{Re}(B)}{A}, -\frac{\text{Im}(B)}{A})$$ gekommen. Und wenn man diesen Punkt zusammenfasst, kommt man meiner Meinung nach auf mein angegebenes Ergebnis. Wenn sich dieses "Vorzeichenproblem" löst, folgt daraus auch direkt der Radius.

Ich freue mich über allerlei Vorschläge

Casio991

Answer 1

Erstmal ist \(\frac{-\bar B}A\) keine Gleichung, sondern ein Term.

Dann ist \(Bz+\bar B\bar z= 2Re (Bz)=2 (Re(B)\cdot x-Im(B)\cdot y)\)

Ein \(i\) kommt da sowieso nicht mehr drin vor. Dann kommt's auch mit der quadratischen Ergänzung auf das gewünschte raus.