Stammfunktion mit Substitution berechnen

Question

Hallo,

die Stammfunktionen von diesen Aufgaben soll mit der Substitution gebildet werden

a)    ∫( (12x+9)/(2x²+3x-7))dx    x>2

b)   ∫ e^x / √(1+e^2x)  dx   x∈ reelle Zahlen

Wir sollen diese Formel benutzen

∫ f(x) dx =  ∫ g(φ(x)) φ'(x) dx  =  G(φ(x)) + C

die Ergebnisse sind

a)  3• ln (2x² + 3x - 7) +C

b)  ln (e^×  + √(1+e^2×)  + C

Kann bitte jemand den Rechenweg erklären?

Danke!

Comments

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

∫( (12x+9)/(2x²+3x-7))dx   x>2

= 3  ∫( (4x+3)/(2x²+3x-7))dx

Jetzt hast du ein Integral, bei dem der

Zähler die Ableitung vom Nenner ist.

Dann substituiert man immer den Nenner,

also φ(x)= 2x²+3x-7  ==>   φ'(x)= 4x+3

und es ist g(x)= 1/x also G(x) = ln(x)  und du bekommst mit

∫f(x) dx =  ∫ g(φ(x)) φ'(x) dx =  G(φ(x)) + C

∫( (12x+9)/(2x²+3x-7))dx = 3  ∫( (4x+3)/(2x²+3x-7))dx

= 3 (   ∫  φ'(x) *    1 /φ(x) dx)   = 3 (  ln( 2x²+3x-7 ) + C )

                                oder eben =  3  ln( 2x²+3x-7 ) +   D