Matrix innerhalb von exp. Berechnung von exp(A)

Question

Ich soll exp(A) berechnen mit gegebener A∈M₃(ℝ).

A= \( \begin{pmatrix}  -1 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \)

Jetzt habe ich etwas gegooglet, um nach einer "Anleitung" zu suchen, habe zwar auch etwas gefunden, was dem nahekommt, allerdings lässt sich meine Matrix weder diagonalisieren, noch kann ich die Jordan-Normalform bilden. Habe mir von Wolfram-Alpha das Ergebnis geben lassen, aber das ist ja mehr zum Überprüfen.

Kann mir jemand helfen ? Wie muss ich vorgehen ?

Answer 1

Das charakteristische Polynom von \(A\) lautet \(p_A(x)=(x-1)^3.\)
Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt danach \((A-I)^3=0\). Es folgt$$\quad\ e^{A}=e^{A-I+I}=e^{A-I}\cdot e^{I}=\big(I+(A-I)+\frac12(A-I)^2\big)\cdot e^{I}$$$$\Rightarrow e^{A}=\frac12(A^2+I)\cdot e^{I}$$$$\Rightarrow e^{A}=\begin{pmatrix}-2&5&3\\-1&2&1\\-2&4&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}e&0&0\\0&e&0\\0&0&e\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2e&5e&3e\\-e&2e&e\\-2e&4e&3e\end{pmatrix}.$$

Comments

Sehr schön, habe ich nicht dran gedacht.

Answer 2

Hi, es gibt natürlich eine Jordannormalform. Die Eigenwerte sind \( \lambda = 1 \) mit algebraischer Vielfachheit \( 3 \)
Jetzt muss man \( a_s = \dim \text{Kern} ( A - I)^s \) bestimmen. Es ergibt sich
\( a_1 = 1 \), \( a_2 = 2 \) und \( a_3 = 0 \) daraus ergibt sich, dass es nur einen Jordanblock der Länge \( 3 \) gibt.
Also gilt \( J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Die Jordannormalform wird zerlegt in
$$ J = D + N  $$ mit \( D \) Diagonalmatrix und \( N \) nilpotent.
Damit ergibt sich
$$ e^A = V e^D e^N V^{-1} $$
Es gilt \( N^3 = 0 \) also müssen von der Potenzreihe nur die Glieder bis \( n = 2 \) berechnet werden. \( e^D = \begin{pmatrix} e & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & e \end{pmatrix} \)

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Hmm...also habe jetzt doch eine Erkenntnis bekommen:

Habe A diagonalisieren können, sodass ich g und g^-1 berechnen konnte. Dank Vorlesung sollte man jetzt exp(A)= g * diag(e^λ₁,...,e^λ_n) * g^-1 berechnen können. g und g^-1 sind korrekt, allerdings kommt bei mir nicht das richtige Ergebnis raus.

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Also diagonalisiert glaube ich nicht. Die Jordannormal habe ich Dir ja aufgeschrieben.