zwei Sehnen, Gleichung beweisen

Question

ich habe mithilfe von Geogebra folgendes Bild erstellt:

ich habe die beiden Sehnen gezeichnet und den rechten Winkel makiert.

Ich würde mich echt auf jede Antwort freuen. Dankeee!

Comments

was mir auffällt:

4r^2 = (2r)^2 = d^2

der Satz des Pythagoras ist hier wichtig, glaub ich. Wir können die Aufgabe auch rechnerisch lösen.

Ich weiß aber nicht, wie ich so herumbasteln kann, damit ich den Satz des Pythagoras hier anwenden kann.

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Wichtig wäre auch zu wissen, ob der Beweis geometrisch, arithmetisch, vektoriell oder sonst wie erfolgen sollte.

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Wir dürfen geometrisch und analytisch (arithmetisch, vektoriell, ... ) beweisen...

Answer 1

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Tipp:

- sei E noch der Schnittpunkt beim 90°-Winkel

- zeichne nun noch die Sehnen AC un BD ein

- wenn du vom Mittelpunkt M aus die Sehne AC unter dem Winkel (beta) siehst,
dann siehst du die Sehne AC vom Punkt B aus unter (beta)/2  ... Randwinkel !

- entsprechend BD von M unter (gamma) => BD von C aus unter (gamma)/2

- und im bei E rechtwinkligen Dreieck BCE gilt also (beta)/2 + (gamma)/2 = 90°


und nun gilt allgemein für die Sehnenlängen ->

s= 2 r * sin( alpha/2)  ...siehe zB hier:
 https://de.wikipedia.org/wiki/Sehne_%28Geometrie%29


also folgt
-> AC=  2 r * sin( (beta)/2)

-> BD = 2 r * sin( (gamma)/2)  ... und wegen ( (gamma)/2) = 90° - ( (beta)/2) =>
-> BD = 2 r * cos( (beta)/2)

deshalb ist dann

 AC² +BD² = 4 r^2 * [ sin² ( (beta)/2) + cos² ( (beta)/2) ]  = 4 r² 

qed.

ok?