Geometrie Aufgabe: In einem Kreis k sind zwei sich nicht schneidende Sehnen gleicher Länge......

Question

Aufgabe:

In einem Kreis k sind zwei sich nicht schneidende Sehnen gleicher Länge eingetragen. Die Geraden g und h gehen durch die Endpunkte der Sehnen und schneiden sich im Kreisinneren. Zeigen Sie, dass die Größe der Winkels (g,h) konstant ist, d.h. von der Lage der Sehnen unabhängig ist.

Frage: Wie mache ich das? Danke euch schonmal im Voraus.

Answer 1

Hallo moonlight,

wieder mal 'ne schöne Geometrie-Aufgabe ...

Ich kann doch die Aufgabe auch mit dem Peripheriewinkelsatz lösen, oder?

Ja - kannst Du. Dazu zeichne ich zunächst einen der Peripheriewinkel ein, z.B. den blauen Winkel beim Punkt \(D\).

 

Der blaue Winkel bei \(D\) ist Peripheriewinkel über der Sehne \(BC\). Dieser Winkel ist also unabhängig von der Lage von \(BC\) zum Punkt \(D\). Auf Grund der (Achsen-)Symmetrie bezüglich der Geraden durch den Schnittpunkt \(P\) von \(g\) und \(h\) und \(M\) (dem Mittelpunkt des Kreises), muss der  blaue Winkel bei \(C\) identisch zum Winkel bei \(D\) sein. Oder - alternative Begründung: Der blaue Winkel bei \(C\) ist Peripheriewinkel über der Sehne \(AD\), die die Länge von \(BC\) im selben Kreis hat, und muss demzufolge gleich groß zu dem Winkel bei \(D\) sein.

D.h. die Winkel im Dreieck \(\triangle PCD\) sind unabhängig von der Lage der Sehne \(BC\) zu \(AD\). Der gelbe Winkel bei \(P\), unter dem sich die Geraden \(g\) und \(h\) schneiden, ist folglich ebenso unabhängig von der Lage der beiden Sehnen \(BC\) und \(AD\).

Gruß Werner

Comments

Du machst ja ausgiebig von der gleichen Länge der beiden Sehnen und der sich daraus ergebenden Symmetrie Gebrauch, was sicherlich erlaubt ist, denn schließlich wird diese in der Aufgabenstellung ja vorausgesetzt.
Tatsächlich ist die Invarianz des Winkels aber auch ohne diese leicht zu zeigen, man benötigt ja nur die Konstanz der Peripheriewinkel bei A und D bezüglich der gegenüberliegenden Sehne unabhängig von deren Lage , aber nicht ihre Gleichheit.

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... auch richtig!

womit der Winkel auch konstant bliebe, wenn die Sehnen nicht gleich lang wären.

Answer 2

Hallo

wie immer zuerst eine Zeichnung! dann entweder der Sehnenwinkelsatz ist bekannt, und der Winkel ist einfach der doppelte Sehnenwinkel, oder du siehst dass die Geraden Durchmesser sind, dann ziehe zusätzlich vom Ende des einen Durchmessers die Verbindung zum anderen Ende der Sehne, du hast ein Thalesdreieck, in dem Hypotenuse 2*r und Sehnenlänge s bekannt sind, die dritte Seite also auch. da das für beide Sehnen gilt (egal ob sie sich schneiden oder nicht) sind die Thalesdreicke kongruent und damit auch die Winkel.

 2. Weg; Mit Abbildungsgeometrie drehst du einfach die eine Sehne in die andere, dabei bleibt der Winkel gleich.

3.Weg, du hast mit dem Mittelpunkt 2 gleichscheklige Dreiecke mit den Seiten r,s,r die kongruent sind.

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort :)

Ich kann doch die Aufgabe auch mit dem Peripheriewinkelsatz lösen, oder?

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Hallo

 wenn der als bekannt gilt und klar ist dass der Mittelpunktswinkel das doppelte ist, ja. Da das ja praktisch der Perepheriewinkelsatz ist dachte ich der sei noch nicht bewiesen.

Gruß lul

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wie immer zuerst eine Zeichnung

Gute Idee !  Schon mal selber probiert ?

Dann würden deine Ausführungen vielleicht besser zur Aufgabenstellung passen.

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Hallo

sorry, ich hatte Mittelpunkt statt Kreisinneres gelesen!

danke für die Berichtigung.