Ratenzahlung beim Autokauf

Question

Sie möchten sich in genau 3 Jahren ein Auto kaufen, das zum Kaufzeitpunkt 25.000 kosten wird. Das Geld möchten Sie in 12 gleich großen Raten ansparen, wobei Sie jeweils eine Rate pro Quartal (die erste in genau 3 Monaten) auf Ihr Sparkonto einzahlen werden. Für Guthaben auf Ihrem Sparbuch erhalten Sie 3 % p.a. bei monatlicher Verzinsung. Welche der folgenden Aussagen ist bzw. sind richtig? (Runden Se nur das Endergebnis auf 2 Kommastellen.)

a) Jede Rate beträgt 1970,81.
b) Jede Rate beträgt 2013,61.
c) Jede Rate beträgt 2186,55.
d) Jede Rate beträgt 1998,58.
e) Keine der anderen Antworten ist richtig.

Kann mir jemand bitte sagen, wie man auf die Lösung d) kommt? Rechne schon ewig und komm nicht darauf.

Answer 1

$$q=1+\frac{0,03}{12}=1,0025$$
$$r\cdot \frac{(q^3)^{12}-1}{q^3-1}=25000\\r=1998,58$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort!

Zur 1. Formel: Warum ein 12tel des Jahreszinses und nicht 12. Wurzel? Die Zinsen werden doch monatlich gutgeschrieben, oder?

Zur 2. Formel: Folgendes ist mir klar: r ist der Betrag, der pro Quartal gespart werden muss, damit man nach 3 Jahren 25.000 EUR hat. Aber wie kommt man auf den Aufzinsungsfaktor? Weder den Term im Zähler, noch den im Nenner kann ich mir herleiten. Ich dachte, man muss die Formel für die konstante jährliche Rente nehmen, aber die sieht irgendwie anders aus :-).

Könntest du mir die Zusammensetzung der Formel bitte noch in Worten erklären? Vielleicht leuchtet es mir dann ein.

Schon mal vielen Dank!

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nomineller Zinssatz \(i=0,03\)

relativer monatlicher Zinssatz ist \(i_{12}=\frac{0,03}{12}=0,0025\)

effektiver QuartalsZinssatz \(i_{eff}=(1+i_{12})^3-1=1,0025^3-1\)