Wann ist das Darlehen getilgt, wenn die Annuität 154.721,81 € beträgt? Zinsanteil im 6. Jahr?

Question

Aufgabe:

Die Alpha GmbH nimmt ein Annuitätendarlehen in Höhe von 1.000.000 € auf, um eine Maschine zu kaufen.

a) Erläutere den Unterschied zwischen Raten und Annuitätentilgung.

b) Wann ist das Darlehen getilgt, wenn die Annuität 154.721,81 € beträgt und ein Zinssatz von 5 % vereinbart wurde?

c) Wie groß ist der Zinsanteil im 6. Jahr?

Problem/Ansatz:

Hab die Musterlösung aber verstehe nicht, wie die auf diesen Rechenweg gekommen sind. Kann mir das jemand ausführlich Schritt für Schritt erklären.

Musterlösung:

A= T1 · q^{n}
T1= A-Z1
Z1= 1000000•0,05= 50000
T1= 154.721,81- 50000= 104.721,81
154.721,81= 104.721,81• 1,05hoch n |:104.721,81
154.721,81/ 104.721,81= 1,05hoch n | lg
lg(154.732,82/104.721,81)= n•lg 1,05 | lg 1,05 
n= lg (154.721,81/104.721,81) / lg 1,05 = 8 Jahre

Answer 1

Für den nachschüssigen Rentenbarwert gilt die Formel

Bn = R·(q^n - 1) / ((q - 1)·q^n)

Diese kann man nach n auflösen und erhält

n = LN(R/(R - Bn·(q - 1))) / LN(q)

Da braucht man nur noch die bekannten Sachen einsetzen und ausrechnen.

n = LN(154721.81/(154721.81 - 1000000·(1.05 - 1)))/LN(1.05) = 8 Jahre

Die Formeln findest du z.B. auch auf https://de.wikipedia.org/wiki/Rentenrechnung