Bestimmen Sie allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Question

Hallo Ihr Lieben,

Ich brauche etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung α: ℝ-->ℝ² der Differentialgleichung
 $$x'=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}  * x + (\begin{matrix} 0 \\ t \end{matrix})$$

Mein Ansatz:

Finde Lösungsfundamentalsystem der homogenen Gleichung x'=A*x: Die  Matrix hat die Eigenwerte 2 und 6. Also die Lösungsfundamentalsystem ist  {(e^2t), (e^6t)}.

Jetzt bräuchte ich, um weiter zu kommen, die Inverse vom eben ausgerechneten Fundamentalsystem, das ist aber nicht in Matrixform. Wie komm ich nun weiter??



Gruß

Lana

Answer 1

2 und 6 stimmen.

Inverse:

x(2)= 1/a12 ((x(1)'- a11*x(1)))

a12=1

a11=2

x(1)= Lösungsfundamentalsystem

x(1)'  ist die Ableitung davon

Comments

x(1)=C(1) e^{2t} +C(2) e^{6t}

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hab jetzt noch mehr  paar Fragen dazu :)

1. Kann ich davon ausgehen, dass von mit eingegebenes Lösungsfundamentalsystem {(e^2t), (e^6t)} richtig ist??

2. Ist in x(2) die Inverse zum Lösungsfundamentalsystem gemeint?

3. Gilt die Formel  x(2)= 1/a12 ((x(1)'- a11*x(1))) allgemein?

Danke

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1. Kann ich davon ausgehen, dass von mit eingegebenes Lösungsfundamentalsystem {(e^2t), (e^6t)} richtig ist??

->ja 

2. Ist in x(2) die Inverse zum Lösungsfundamentalsystem gemeint? ->ja

3. Gilt die Formel  x(2)= 1/a12 ((x(1)'- a11*x(1))) allgemein?  ->ja

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Okay, ich bin paar Schritte weiter gekommen, aber hier taucht leider das nächste Problem auf:

Die allgemeine Lösung von der homogenen Gleichung haben wir schon als Lösungsfundamentalsystem bestimmt.

Jetzt versuche ich nach der Formel  β=Φ(t) * ∫Φ^-1(τ) b(τ) dτ die speziele Lösung von der inhomogenen Gleichung zu bestimmen.

Φ^-1(τ) (oben als x(2) bezeichnet) = (0, 4e^6t)

Jetzt muss ich (0, 4e^6t)*(0, t) nehmen. Wie geht's hier weiter? Vektor mal Vektor?? Soll ich das kanonische Skalarprodukt nehmen? Dann kämme da eine Zahl raus und die Abbildung soll nach Voraussetzung ℝ-->ℝ² sein, da passt irgendwas nichts......

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Okay, hab schon gelöst... Die Lösungsfundamentalsystem ist: C1(1,0)e^2t + C2(1, 4)e^6t

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das stimmt.

Aber die Aufgabe ist ja noch nicht zu Ende..

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Ansatz part. Lösung:

x(1p)=a +bt

x(2p)=A +Bt

x(1)' =b

x(2)'=B

->Einsetzen der part. Lösung in die Aufgabe und Koeffizientenvergleich:

A=-1/36

B=-1/6

a=1/18

b=1/12

------->

x(1p)= 1/18 +1/12 *t

x(2p)=-1/36 -1/6 *t

Lösung:

x= x(h) +x(p)

x(1)= C(1) e^{2t} +C(2) e^{6t} +t/12 +1/18

x(2)=4 C(2) *e^{6t} -t/6 -1/36

Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösungen.