Existenz lokaler Extremstellen. f(x,y) = x^2 y(x^2 + y^2 +c^2-2cy-4), c€{-2,0,2}

Question

hallo ich brauche hilfe bei der Aufgabe 92 a die skizzen habe ich angefertigt nun hab ich das mit der Vorzeichenverteilung nicht verstanden was ist das was soll ich da machen 

meine zweite frage ist wie kann ich zeigen dass eine Menge kompakt ist ich wei0 dass eine menge kompakt ist wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist wie kann ich das beweisen anhand dieser funktion die man mir gegeben hat danke

(a) Fertigen Sie jeweils eine Skizze der Nullstellenmenge und Vorzeichenverteilung von

fc : R² → R: (x, y) → x²y (x² + y² + c² − 2cy − 4)

für c ∈ {−2, 0, 2} an.

(b) Begrunden Sie mit Hilfe der Skizze, dass f₀ mindestens 4 lokale

Extremstellen hat.

Comments

Fuer die Skizze brauchst Du Papier und einen Stift.

Answer 1

wenn du z.B. für c=0 die Nullstellenmenge hast

x-Achse ∪ y-Achse ∪ Kreis um (0/0) mit r = 2

Dann kann ja , weil es eine stetige Fkt. ist, das Vorzeichen der Funktionswerte

nur an einem Punkt der Nullstellenmenge wechseln.

wenn man so schreibt

f₀(x,y) = x^2 * y * ( x^2 + y^2 - 4 ) hat man ja drei Faktoren

wenn du etwa innerhalb des Kreises bist, ist der 3. Faktor negativ

der erste ist nie negativ und der 2. je nachdem, ob du oberhalb oder

unterhalb der x-Achse bist.

Also in der oberen Kreishälfte sind die Werte negativ, in der

unteren positiv.

Außerhalb des Kreises ist es umgekehrt:

Im oberen Bereich positive Werte im unteren negative.