Pyramidenstumpf in einem dreidimensionalen Koordinatensystem - Flächeninhaltberechnung eines allgemeinen Dreiecks

Question

Vereinfachte Aufgabenstellung:

Es ist ein Pyramidenstumpf in einem dreidimensionalen Koordinatensystem gegeben. Der Oberflächeninhalt ist zu berechnen. Klar ist, wie man ihn berechnet: Grundfläche+ Fläche oben+ 4*Seitenflächen. Grundfläche und die obere Fläche sind leicht zu berechnen (es sind alle Eckpunkte des Stumpfes schon vorher berechnet worden).

Die Seitenflächen hingegen sind trapezförmig. In den Lösungen steht, dass das Trapez in 2 Dreiecke geteilt wird. Da diese Dreiecke nicht rechtwinklig sind, wurde Fläche für beide Dreiecke zusammen wie folgt berechnet:

\( \frac{1}{2} \sqrt{64 \cdot 65-48^{2}}+\frac{1}{2} \sqrt{65 \cdot 33-41^{2}} \)

Ich hoffe, dass die Zahlenwerte nicht von Bedeutung sind, ich kann mir den Lösungsansatz einfach nicht erklären.

Ich weiß, dass es auch eine Trapezformel gibt, mit welcher ich auch zur richtigen Lösung komme, jedoch würde ich auch gerne diesen Ansatz verstehen.

Answer 1

Ich vermute mal das dahinter der Betrag eines Kreuzproduktes steht.

Spannen zwei Vektoren a und b ein Dreieck auf dann errechnet sich der Flächeninhalt über

1/2 * |a × b|

Wenn ich das mal mit zwei beliebigen Vektoren mache, wobei einer keine z Richtung hat, weil das Trapez ja unten und oben parallel zur xy-Ebene ist

1/2 · | [a, b, c] ⨯ [0, d, e] | = 1/2 · √(a^2 * (d^2 + e^2) + (b·e - c·d)^2)

Das sieht zumindest schon annähernd so aus wie dein Term. Nur dürfte dort kein Minus vorkommen. Etwas genaueres kann ich nur sagen, wenn ich die Daten das Pyramidenstumpfes habe, sodass man es dann direkt an den Werten nachvollziehen kann.

Comments

Vielen, vielen Dank für die Antwort! :)

Das klingt eigentlich logisch, obwohl ich gestehen muss, dass wir das Kreuzprodukt bzw. dessen Berechnung noch nicht im Unterricht durchgenommen haben.

Das sind die Eckpunkte des Trapezes (von unten links beginnend): A (8|0|0) B (8|8|0) C (6|6|5) D (6|2|5)

Die restlichen Punkte des Pyramidenstumpfes sind hoffentlich nicht für die Rechnung notwendig, aber so wie ich die Rechnung verstehe nicht..

Nochmal Dankeschön für die Hilfe!!