Exponentialfunktionen exp(z):= ∑ (z^k)/k! ... Zeigen Sie...

Question

exp(z):= ∑ (z^k)/k!

37. Es seien exp : ℂ → ℂ, z ↦ exp (z) = 

$$  \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { { z }^{ k } }{ k! }  } $$

Exponentialfunktionen, 

sin(z)= $$\frac { 1 }{ 2i }$$ 

(exp(iz)-exp(-iz)) und cos(z)- 1/2(exp(iz)+exp(-iz)).

 Zeigen Sie:

(a) Ist x∈ℝ und x>0, so ist exp(x)>1,
(b) ist x∈ℝ und x<0, so ist 0<exp(x)<1,

(c) ist x ∈ ℝ, so ist | exp (ix)| = 1,
(d) ist z ∈ C mit sin (z) = 0 oder cos (z) = 0, so ist z reell. 

Comments

Gibts auch eigene Ideen? Ich will Dir doch nicht alles vorkauen.

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Nein, leider nicht, das ist auch mein Problem. Ich hab überhaupt keine shnung wie ich die Aufgabe anfangen muss :/

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Die Umwandlung deiner Formeln klappt nicht so ganz. 

Ich sehe eine Exponentialfunktion

und dann einen Sinus auf 2 Zeilen. (?)

Beim Cosinus meinst du cos(z) = ...  ohne MINUS, dafür mit GLEICH?

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Jaaa,das hat nicht so ganz geklappt :/ 

Der Sinus auf den zwei Zeilen gehört zusammen und ja genau = statt -

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wie geht nun die Aufgabe ? Ich bräuchte auch Hilfe :D

Answer 1

Als erstes würde ich mir mehr Mühe geben in der Formulierung der Aufgabe. So ist das eigentlich eine Zumutung. Du reagierst ja noch nicht mal, wenn man Dich darauf hinweist.

zu (a)
$$ \exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}  $$ da \( x > 0 \) gilt, ist der zweite Summand \( > 0 \) also \( \exp(x) > 1 \)

zu (b)
\( \exp(x) = \frac{1} {\exp(-x) } \)

da \( -x > 0 \) ist folgt aus (a) \( 0 < \exp(x) < 1 \)

zu (c)
Es gilt \( e^{ix} = \cos(x) +i \sin(x) \) daraus folgt \( \left| e^{ix} \right| =\sqrt{\cos^2(x) + \sin^2(x) } = 1 \)

zu (d)
Wenn \( \sin(z) = 0 \) gilt folgt \( \frac{1}{2i} \left(\ e^{iz} - e^{-iz} \right) = 0 \) und daraus \( e^{iz} = e^{-iz} \) also gilt

\( e^{i ( \Re (z) + i \Im (z)) } = e^{ -i ( \Re (z) + i\Im (z) ) } \) also \( e^{i\Re (z)}e^{-\Im (z)} = e^{-i\Re (z)} e^{\Im(z)} \), durch Betragsbilgung folgt

\( -\Im(z) = \Im(z) \) also \( \Im(z) = 0 \) d.h. \( z \in \mathbb{R} \)

Bei \( \cos(z) = 0 \)  gehts ähnlich.

Comments

Erstmal Danke für die Antwort !!! 

Tut mit leid :/ Mit der Formulierung hab ich es mehrmals versucht, jedoch ging es leider nicht. Im Vorschau sah es ordentlich aus und als Beitrag dann immer verschoben:/