Multiplikation von drei Klammern bei (x^2-4) (2x+5)(x-3) = 0

Question

 Soll von der Gleichung

(x²-4) (2x+5)(x-3) = 0

die Lösungsmenge(n) bestimmen. Komme allerdings gar nicht mit dem ausmultiplizieren von den drei Klammern klar.

Answer 1

Ausmultiplizieren ist hier nicht nötig. (x²-4)(2x+5)(x-3)=0 gilt genau dann, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist.

Answer 2

Hier musst du faktorisieren und den sogenannten Satz vom Nullprodukt nutzen und nicht ausmultiplizieren.

(x²-4) (2x+5)(x-3) = 0    | 3. Binom (EDIT: 3. Binom)

(x-2)(x+2)(2x+5)(x-3) = 0

Nullstellen ablesen:
x1 = 2 ;
x2 = -2 ;
x3 = -2.5 ;
x4 = 3

Comments

Danke erstmal.

Ich verstehe den Schritt mit der 2. Binomischen Formel allerdings noch nicht ganz.

Vor allem wie (x-2)(x+2) entsteht verstehe ich jetzt nicht so ganz...

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Es sollte eigentlich 3 Binom. heißen denke ich.

3.Binom.Formel:

(a+b)(a-b) = a^2-b^2

jetzt ist

(x+2)(x-2)=x^2-4

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Sorry, ich meinte die 3. binomische Formel.

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

Nun nenne a = x und b = 2

x^2 -4 = x^2 - 2^2 = (x+2)(x-2)

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Ganz kurz gefasst:
(x-2) * (x+2) =  x² + 2x - 2x - 4.
Die 3 binomische Formel geht so

(x-y)(x+y) = (x² - y²)

Eine Gleichung kannst du von 2 Seiten betrachten (Deshalb der Name Gleichung). Betrachtest du nun die Gleichung von rechts nach links, dann wird dir was auffallen.

Und da ist ein Fehler drin. x2 müsste -2 sein.

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Vor allem wie (x-2)(x+2) entsteht verstehe ich jetzt nicht so ganz...
x^2 - 4 =  ( x - 2 ) * ( x + 2 )

Der Schritt ist auch nicht unbedingt notwendig Einfacher

Nullstelle bei
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = ±√ 4

x = 2
und
x = -2

Answer 3

also es erspart dir wirklich sehr viel Arbeit, wenn du die Nullstellen einer Funktion angeben sollst und diese bereits mit Faktoren (so wie in der Aufgabe hier) geschrieben ist.

Da es auf jeden Fall sinnvoll ist auch 3 Klammern ausklammern zu können werde ich dir das hier kurz darstellen, damit diese Frage auch geklärt ist ;) 

Vom Prinzip her funktioniert das so, dass du dir zwei Klammern aussuchst, welche du dann ganz normal miteinander ausmultiplizierst und das Ergebnis ebenfalls in einer Klammer schreibst. Das Ergebnis in der einen Klammer wird dann anschließend mit der letzten dritten Klammer ganz normal multipliziert.

1. Möglichkeit: Die 2 linken Klammern zuerst ausmultiplizieren:
(x²-4)*(2x+5)*(x-3) = 0    -> ich rechne die x² zuerst zu den 2x dann zu der 5... dann die -4
(2x³+5x²-8x-20)*(x-3) = 0
(2x^4-6x³+5x³-15x²-8x²+24x-20x+60) = 0
Theoretisch steht hier das allerletzte Ergebnis ebenfalls wieder in einer Klammer. Da diese allerdings nicht gebraucht wird können wir sie weglassen und im gleichen schritt das ganze zusammenfassen:
2x^4-x³-23x²+4x+60 = 0

2. Möglichkeit: Die 2 rechten Klammern zuerst ausmulitiplizieren:
(x²-4)*(2x+5)*(x-3)=0
(x²-4)*(2x²-6x+5x-15)=0
(2x^4-6x³+5x³-15x²-8x²+24x-20x+60)=0
2x^4-x³-23x²+4x+60=0

Wenn du Lust hast kannst du auch die Klammern vertauschen [Es sind ja Faktoren - da ist es egal ob man 3*4*2 oder 3*2*4 rechnet.... Es kommt jedes Mal dasselbe (hier 24) heraus] und die linke zuerst mit der rechten ausklammern und das Ergebnis dann mit der (2x+5)...

Hoffe das mit den drei Klammern ist nun nicht mehr ganz so abschreckend für dich ;)