zeige die Matrix A ist diagonalisierbar

Question

Wie zeigt man das ? Danke für jegliche Hilfe.

Comments

Wie ist E definiert?

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E ist die einheitsmatrix

Answer 1

wenn A^n = E und k ein Eigenwert von A mit Eigenvektor x

dann ist  A^n(x) = k^n * x und das ist gleich x, da A^n = E-

also k^n = 1 und in C gibt es ja immer genau n verschieden

n-te Einheitswurzeln, also hat A n verschiedene Eigenwerte

und ist also diagonalisierbar.

Comments

Mit der Begründung hätte E n verschiedene Eigenwerte.

Answer 2

Hi,
eine Matrix \( A \) ist genau dann diagonalisierbar wenn das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Also \( \mu_A(x) = \prod_{k=1}^m(x-\lambda_k) \) mit paarweise verschiedenen \( \lambda_k \).
Wegen \( A^m = E = A^0 \) ist \( A \) Nullstelle des Polynoms \( p_A(x) = x^m - 1 \) Nach Cayley-Hamilton teilt \( \mu_A(x) \) also \( p_A(x) \) und es muss gelten \( \mu_A(A) = 0 \) Wenn zusätzlich gilt \( A^k \ne E \) für \( k = 1, \cdots , m-1 \) ist \( A^k - E \ne 0 \) für \( k = 1, \cdots, m-1 \) aber \( A^m - E = 0 \). Also ist \( \mu_A(x) = p_A(x) \)
Das Polynom \( p_A(x) \) zerfällt über \( \mathbb{C} \) in \( m \) paarweise unterschiedliche Linearfaktoren, also ist \( A \) diagonalisierbar.