Kurvendiskussion f(x)=(x²-49)(x²-1)

Question

Grundsätzlich weiß ich, was ich bei einer Kurvendiskussion tun muss.

f(x)=(x²-49)(x²-1)

Irgendwie komme ich aber mit dieser Aufgabe nicht klar. Leider kann ich auch nicht genau sagen, wo mein Problem ist. Spätestens bei den Extrema komme ich auf Werte, mit denen ich nicht weiter rechnen kann. Ähnlich dann bei den Wendepunkten. Vielleicht habe ich die Ableitungen falsch gebildet oder auch nur ein simpler Rechenfehler, den ich nicht finde?!

Answer 1

f(x) = (x^2 - 49)·(x^2 - 1) = x^4 - 50·x^2 + 49
f'(x) = 4·x^3 - 100·x
f''(x) = 12·x^2 - 100

Extrempunkte f'(x) = 0

4·x^3 - 100·x = 4·x·(x^2 - 25) = 0 --> x = 0 oder x = ± 5

Skizze

Comments

Wie vermutet war es ein simpler Rechenfehler. Zwar komme ich bei den Wendepunkten auf ziemlich krumme Zahlen, aber wenn ich mir Ihre sehr hilfreiche Skizze ansehe, dann passen die dennoch. Danke nochmal!

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Wendepunkte

f''(x) = 12·x² - 100
12·x² - 100 = 0

12 x^2 = 100

x = ± 2.887

Answer 2

Zusätzlich zu ergänzen ist vielleicht bezogen auf deine Frage:

Du kannst hier auf zwei verschiedene Weisen ableiten. Ableiten musst du zunächst einmal, um die notwendige Bedingung für ein Extremum zu erfüllen. Die muss dann nämlich gleich null sein.

Also:
1. mit der Produktregel:
$$  f(x)=(x²-49)(x²-1)\\  f'(x)= u(x)\cdot v'(x)+v(x)\cdot u'(x)\\ \Rightarrow f'(x) = (x²-49)\cdot 2x + (x²-1)\cdot 2x\\ = 2x^3-98x+2x^3-2x\\=4x^3 -100x  $$

Das ist aber die umständliche Variante, vielleicht hast du dich da vertan!

Einfacher geht es, wenn du ausmultiplizierst und dann mit Summenregel ableitest. Das hat Mathecoach gemacht und ist zeitsparender! Dann das Ganze nullsetzen, 4x ausklammern... Satz vom Nullprodukt (Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist!)
$$ 4x(x^2-25)=0 \Rightarrow 4x = 0 \vee x^2-25 = 0 $$
Beides nach x auflösen und du hast deine Lösungen, wie sie im Graphen bestätigt werden!

LG