Kurvendiskussion -x^8+14x^4-49

Question

Ich soll folgende Kurvendiskussion durchführen.

-x^8+14x^4-49

Liegt hier eine biquadratische Gleichung vor? Die kenne ich bisher nur mit den Exponenten 4 und 2. Bei dieser Funktion stehe ich auf dem Schlauch.

Auch ist mir nicht so ganz klar, wie es dann nach der Nullstellenberechnung weitergehen soll. Die Ableitungen lauten ja -8x^7+56x^3, -56x^6+56 und -336x^5.

Ich finde keinen richtigen Ansatz und bitte euch um Hilfe. Danke.

Answer 1

Hi,

hier ist doch kein großer Unterschied zu biquadratischen Gleichung?! ;)

Substitution ist das Stichwort:

 

-x^8+14x^4-49 = 0    |:(-1) außerdem x^4 = z

z^2-14z+49 = 0         |binomische Formel

(z-7)^2 = 7

 

Resubstitution:

x^4 = 7      |Vierte Wurzel ziehen. Doppelte Lösung beachten!

x_1,2 = ±⁴√7

 

Grüße

Comments

Soweit so gut. Du schreibst x_1,2. Aber wieviele Nullstellen sind es nun tatsächlich? Sollte es nicht x_1-4 oder sogar x_1-8 heißen?

Weiter geht es dann mit der 1. Ableitung.

-8x⁷+56x³=0 Hier würde ich ausklammern.

8x³(-x⁴+7)=0  -> x_1-4=0

-x⁴+7=0

x⁴=7  -> x_5-7= ±√7

Richtig?

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Unknown: Du meinst hier x_1,2 = ±^4√7

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Nun, da es nur zwei Stellen sind, ist denke ich ein x_1,2 ausreichend, auch wenn die mehrwertig sind.

Wir haben je eine doppelte Nullstelle. Die fehlenden vier Nullstellen sind nicht reell.

 

Der zweite Teil bzgl der Ableitung ist rechnerisch richtig. Notationstechnisch klappt es baer nicht ganz:

8x³(-x⁴+7)=0  -> x_1-3=0

-x⁴+7=0

x⁴=7  -> x_4,5= ±⁴√7

 

Es gibt wieder zwei weitere, aber nicht reelle Lösungen ;).

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@Lu: Danke, die hatte ich verschluckt.