Wie berechnet man die Extrempunkte der Funktion f(x) =1/8x^4 - x^2 + 2

Question

Wie schon oben gennant brauche ich hilfe um die Extrempunkte dieser Funktion zu finden

f(x) =(1/8)x^4-x^2+2

Comments

entweder mit Ableitung - oder Substitution um auf Parabel zu kommen.

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Das Problem ist halt das ich davon bisher leider keine Ahnung habe und nicht weiterkomme.

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Ich würde zunächst 1/8 ausklammern.

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habt Ihr schon Differentialrechnungn gehabt ?

wenn nicht schau mal nach Scheitelpunktformel einer Parabel

Answer 1

Hier mal ein eher elementarer Ansatz, der nicht viel voraussetzt:

f (x) = 1/8 * x^4 - x^2 + 2

f (x) = 1/8 * ( x^4 - 8*x^2 + 16 )

f (x) = 1/8 * ( x^2 - 4 )^2

f (x) = 1/8 * ( x + 2 )^2 * ( x - 2 )^2.

Es wurde 1/8 ausgeklammert, dann der Term in der Klammer nach der zweiten und der dritten binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegt. Wir identifizieren zwei doppelte Nullstellen als zwei Extremstellen, die wegen des Kurvenverlaufs Tiefstellen sein müssen. Augrund der Symmetrie des Graphen von f zur y-Achse liegt in der Mitte zwischen den beiden Tiefstellen die einzige Hochstelle.

Also hat die Funktion f als Extrempunkte den Tiefpunkt T₁( -2 | 0 ),
den Hochpunkt H( 0 | 2 ) und den Tiefpunkt T₂( 2 | 0 ).

Diese Betrachtung kommt ohne die üblichen Mittel aus und ist überdies auch noch recht kurz.