Kurvendiskussion durchführen: f(x)=-x^8+14x^4-49

Question

Es soll eine Kurvendiskussion durchgeführt werden. Die Nullstelle hab ich bereits gemacht:

-x⁸+14x⁴-49 = 0    |:(-1)

x⁸-14x⁴+49 = 0

  x⁴ : y 

y²-14y+49 = 0         | pq - Formel

y = 7

Resubstitution:

x⁴ = 7      |  ⁴√

x_1,2 = ±⁴√7

 x_{1,2 =} ± 1,62   (ist es so weit ok?)

Wie mach ich da weiter mit Extrema und Wendepunkten?

Answer 1

Funktion & Ableitungen

f(x) = x^8 + 14·x^4 - 49

f'(x) = 8·x^7 + 56·x^3 = 8·x^3·(x^4 + 7)

f''(x) = 56·x^6 + 168·x^2 = 56·x^2·(x^4 + 3)

Symmetrie

Achsensymmetrie zur Y-Achse bedingt durch die geraden Exponenten von x

Verhalten im Unendlichen

lim (x --> ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = -49

Nullstellen f(x) = 0

x^8 + 14·x^4 - 49 = 0

Subst. z = x^4

z^2 + 14·z - 49 = 0 --> z = -7 ± 7·√2 --> z = -16.90 ∨ z = 2.90

Extrempunkte f'(x) = 0

8·x^3·(x^4 + 7) = 0 --> x = 0 (dreifache Nullstelle und damit wirklicher Extrempunkt)

f(0) = -49 --> TP(0 | -49)

Wendepunkte f''(x) = 0

56·x^2·(x^4 + 3) = 0 --> x = 0 (doppelte Nullstelle und damit kein Wendepunkt sondern nur Flachpunkt)

Comments

vielen dank für die ultraschnelle Antwort!!

mir ist es aufgefallen dass Sie den minus Zeichen beim -x⁸  nicht in die Funktion genommen haben den die Funktion lautet : f(x) =  -x⁸ + 14x⁴ - 49..

habe ich da eventuell dach was übersehen und es muss so sein?.. sorry..

MfG daniel74

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Das Minus in der Überschrift ist etwas nahe beim Gleich. Darum hat der Mathecoach das vermutlich übersehen. Wenn du nach dem Gleich einen Abstand machst, fällt das eher auf.

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/369708/kurvendiskussion-f-x-x-8-14x-4-49-f-x-4x-4-8x-2-16-f-x-x-2-x-2-x-2 und bei den dortigen Links. oder: https://www.mathelounge.de/39909/nullstellen-bestimmen-y-x-8-14x-4-49

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Sorry. Ja ich habe das Minus übersehen.

Funktion & Ableitungen

f(x) = -x^8 + 14·x^4 - 49

f'(x) = -8·x^7 + 56·x^3 = 8·x^3·(7 - x^4)

f''(x) = -56·x^6 + 168·x^2 = 56·x^2·(3 - x^4)

Symmetrie

Achsensymmetrie zur Y-Achse bedingt durch die geraden Exponenten von x

Verhalten im Unendlichen

lim (x --> ∞) f(x) = -∞

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = -49

Nullstellen f(x) = 0

-x^8 + 14·x^4 - 49 = 0

Subst. z = x^4

-z^2 + 14·z - 49 = 0 --> z = 7 --> x = ± 7^{1/4} = ± 1.63

Extrempunkte f'(x) = 0

8·x^3·(7 - x^4) = 0 --> x = 0 (dreifach) ∨ x = ± 7^{1/4} = ± 1.63

f(0) = -49 --> TP(0 | -49)

f(7^{1/4}) = 0 --> HP(± 1.63 | 0)

Wendepunkte f''(x) = 0

56·x^2·(3 - x^4) = 0 --> x = 0 (doppelt) ∨ x = ± 3^{1/4} = ± 1.32

f(3^{1/4}) = -16 --> WP(± 1.32 | - 16)