Die Gesamtenergie beträgt $$ E = T + V $$ wobei \( T \) die kinetische Energie ist und $$ T(t) = \frac{m}{2} \dot r^2(t) $$ beträgt. Daraus ergibt sich $$ \dot r^2(t) = \frac{2}{m} \bigg( E - V(r) \bigg) $$
Wenn jetzt \( E < V(r) \) ist, gibt es keine Lösungen und entspricht demzufolge keiner physikalisch erlaubten Lösung des Kepplerproblems. Ist \( V < E < 0 \) gibt es zwei Lösungen, die der Lösung \( E = V \) entsprechen. Ich habe hier ein Beispielplot gewählt um das mal darzustellen.
Wenn \( E = V \) ist, gibt es genau eine Lösung für \( \dot r \), also \( \dot r = \text{ const } \) und das ist dann eine Kreisbewegung.
Wenn \( E > 0 \) ist, dann gibt es nur eine Lösung von \( E = V \) und \( \dot r^2 \) bleibt \( \gt 0 \)
Damit liegt eine ungebundene Bewegung vor.
