wie berechnet man hoch und Tiefpunkte bei den Funktionen?

Question

Hallo ich soll die hoch und Tiefpunkte von den beiden Funktionen bestimmen : f(x)= 0,9 x⁴ -4x²+ 1

F(x) = 1/8 x⁴-5/4x² +1

Ich hab die erste angefangen zu rechnen nur irgendwie komm ich nicht weiter mit PQ Formel .

Answer 1

f(x) = 0.9·x^4 - 4·x^2 + 1

f'(x) = 3.6·x^3 - 8·x = 0.4·x·(9·x^2 - 20) = 0 --> x = ± 2/3·√5 ∨ x = 0

----------

f(x) = 1/8·x^4 - 5/4·x^2 + 1

f'(x) = 0.5·x^3 - 2.5·x = 0.5·x·(x^2 - 5) --> x = ± √5 ∨ x = 0

Comments

Warum Wurzel aus 5 ?

---

Lös mal bitte die quadratischen Gleichungen

9·x² - 20 = 0

x² - 5 = 0

Ich hoffe du kannst quadratische Gleichungen lösen. Stichwort abc- oder pq-Formel wenn man es einfach haben will. Quadratische Ergänzung wenn man es etwas umständlicher haben möchte.

Answer 2

Aufgabe 1)

0,9 x^4-4x²+1  , 1,Abl . bilden und 0 setzen !

f ´   =  18x³ /5  - 8x   ----->  18x³ / 5  -8x = 0   , x ausklammern  ------>  x (  18x² /5  - 8 = 0  ,  x=0

18x² /5  - 8  =  0

18x² /5        =  8    ,   mal 5

18x²        =  40  ,   geteilt  durch 18

x² =  2,22

x2,3 =± √ 2,22

x2 = 1,49

x3 = - 1,49     , Nullstellen    0 ,  1,49  und - 1,49  !!

Nun einfach weiter , 2. Abl. berechnen . Bei Fragen melden !!

Comments

Die erste Ableitung ist falsch da muss doch 3,6 raus kommen und nicht 18 oder? Und wieso teilt man durch bzw. woher kommt die ?

---

18/5  =  3,6  , was ist da falsch ?

---

Achse ok :) Sorry

Answer 3

f(x)= 0,9 x⁴ -4x²+ 1
Du hast zunächst einmal richtig abgeleitet

f ´( x ) = 3.6 * x^3 - 8 * x
f ´´ ( x ) = 10.8 * x^2 - 8

Mit der pq-Formel kommst du bei der 1.Ableitung nicht nicht da diese
nur für quadratische Funktionen ( x^2 ) gilt. Es hilft dir ein ausklammern
und der Satz vom Nullprodukt.
3.6 * x^3 - 8 * x  = 0  | x ausklammern

x * ( 3.6 * x^2 - 8 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
x = 0
und
3.6 * x^2 - 8 = 0
x^2 = 2.222
x = ±1.49

f ( 0 ) = 1
f ( 1.49 ) = - 3.-44
f ( -1.49 ) = -3.44

Hoch- oder Tiefpunkt ?
f ´´ ( x ) = 10.8 * x^2 - 8
f ´´( 0 ) = - 8  | Hochpunkt
f `´( ±1.49 ) = 15.98  | Tiefpunkte

H ( 0 | 1 )
T ( 1.49 | -3.44 )
T ( -1.49 | -3.44 )

~plot~  0.9 * x^4 - 4 * x^2 + 1 ~plot~

Comments

Es kommt zwei Mal -3,44 , muss der eine wert nicht positiv sein und wie wurde das berechnet ?

---

Achse die Wurzel wurde gezogen und bei der zweiten Funktion muss ich das in Prinzip das selbe machen oder?

---

Es kommt zwei Mal -3,44 , muss der eine wert nicht positiv sein
und wie wurde das berechnet ? 

f(x)= 0,9 x⁴ -4x²+ 1
f ( 1.49 ) = 0.9 * 1.49^4 - 4 * 1.49^2 + 1
f ( 1.49 ) = 0.9 * 4.93 - 4 * 2.22 + 1
f ( 1.49 ) = 4.437 - 8.88 + 1
f ( 1.49 ) = -3.44

Man kann dieselbe Berechnung auch ausführen für
f ( -1.49 ) = ?

Da x aber nur im Quadrat x^2 oder als x^4 vorkommt ergibt
sich auch für -1.49 wieder ein positiver Wert
x^2 = (-x)^2
x^4 = (-x)^4

f ( 1.49 ) = f ( -1.49 )

---

Die zweite Aufgabe
F(x) = 1/8 x⁴-5/4x² +1 
kann genau nach demselben Schema berechnet werden.

Ich habe in Dezimalzahlen gerechnet. Der andere Antwortgeber
hat mit √ 5 gerechnet.

Gern schaue ich deine Rechnung nach. Kann dir diese bei
Bedarf auch vorrechnen.

---

Ich hab für die zweite Funktion : Hochpunkt -2,5 und Tiefpunkt 5,026 . Ist das richtig ?

---

Nein.
Die richtige Antwort ist
x = =
x = √ 5 = 2.236
x = - √ 5 = - 2.236

1/8 x⁴-5/4x² +1 

~plot~ 1/8*x^4 - 5/4 * x^2 + 1 ~plot~

Stell deine Berechnung ein ich sage dir dann wo dein Fehler ist.

---

Das ist meine Berechnung :

---

Ich hab für die zweite Funktion :
Hochpunkt -2,5 und Tiefpunkt 5,026 . Ist das richtig ?

Das ist mißverständlich ausgedrückt.
Richtig
x = 0
f ´´( 0 ) = -5/2 ( also Hochpunkt )
f ´´( √ 5  ) = 5 ( also Tiefpunkt )
f ´´( - √ 5  ) = 5 ( also Tiefpunkt )

Es gehört auch noch die Berechnung der Koordinatenangabe dazu.
H ( 0 | f ( 0 ) )
T (  √ 5 | f ( √ 5 ) )
T (  - √ 5 | f ( - √ 5 ) )