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Aufgabe
Bestimmen Sie alle Hoch- und Tiefpunkte der Funktion.
a) f(x)=x²+4x-7


Ansatz:

Habe die erste und 2. Ableitung gebildet

Bei der ersten Ableitung habe ich sie =0 gesetzt und für x=-2 herausbekommen.

Bei der zweiten Ableitung habe ich für x=2 herausbekommen.

Nun habe ich das Ergebnis der zweiten Ableitung in die Ausgangsfunktion eingesetzt, um die y- Koordinate herauzukriegen. Das Ergebnis ist 11.

Nun ist es so, dass es Lösungen zu dieser Aufgabe gibt. Die sind (-2/-11).

Was habe ich falsch gemacht?

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Da es sich um eine verschobene Normalparabel handelt, müsste klar sein, dass es sich um ein Minimum handelt.

f'(x)=2x+4

Nullstelle bei x=-2

Für x<-2 ist 2x+4<0, also fällt die Kurve.

Für x>-2 ist 2x+4>0, also steigt die Kurve.

--> Minimum bei x=-2

4 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Du suchst die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion:$$f(x)=x^2+4x-7$$

An einem Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur x-Achse, hat also die Steigung Null. Über die Steigung einer Funktion gibt ihre erste Ableitung Auskunft.

Du setzt also die erste Ableitung gleich Null, um Kandidaten für Hoch- und Tiefpunkte zu finden:$$f'(x)=2x+4\stackrel!=0\implies x=-2$$Warum ist \((x=-2)\) nur ein Kandidat? Es gibt Funktionen, deren Tangente an einem Punkt parallel zur x-Achse verläuft, die dort aber keinen Hoch- oder Tiefpunkt haben. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist z.B: \(g(x)=x^3\). Daher musst du den Kandidaten noch prüfen.

Zur Prüfung kannst du die zweite Ableitung verwenden. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt nämlich Auskunft darüber, wie die Funktion an einem Punkt gekrümmt ist. Ist die zweite Ableitung positiv, ist die Kurve links-gekrümmt (Minimum). Ist die zweite Ableitung negativ, ist die Kurve rechts-gekrümmt (Maximum).

Die zweite Ableitung kann auch gleich Null sein, dann hilft dir die zweite Ableitung als Prüfung auf Maximum oder Mimimum nicht weiter. In einem solchen Fall kannst du dann prüfen, ob die erste Ableitung an der fraglichen Stelle ihr Vorzeichen wechselt. Ist der Vorzeichenwechsel von plus nach minus, steigt die Funktion vor der kritischen Stelle an und fällt danach wieder ab, also liegt ein Maximum vor. Ist der Vorzeichenwechsel von minus nach plus, fällt die Funktion vor der kritischen Stelle ab und steigt danach wieder an, also liegt ein Minimum vor.

Hier ist die zweite Ableitung für alle \(x\)-Werte gleich, nämlich \(\;f''(x)=2>0\;\). Die Kurve ist also durchgängig links-gekrümmt, sodass an der Stelle \(x=-2\) ein Minimum liegt.

Avatar von 152 k 🚀
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Du hättest x = -2 in die Ausgangsfunktion einsetzen sollen. Denn bei x = -2 ist das Minimum.

Avatar von 45 k
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f ''(-2) = 2  besagt, dass an der Stelle x= -2 ein Minimum vorliegt.

Der Punkt hat daher die Koordinaten P(-2/-11)

Du darfst nicht den Wert der 2. Ableitung in f(x) einsetzen. Das war dein Fehler.

Avatar von 39 k

Ok, und was bringt die erste Ableitung dann ?

Sie liefert die Extremstelle, die 2. sagt dann aus, um welches Art von Extremum sich handelt.

Achso Ok, kann man diese Funktion auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium lösen ?

Achso Ok, kann man diese Funktion auch mit dem Vorzeichenwechselkriterium lösen?

Ja! Man löst aber nicht die Funktion mit dem Vorzeichenwechselkriterium.

Schade, dass du offensichtlich nicht mal erkennen kannst, dass es sich um eine nach oben geöffnete, verschobene Normalparabel handelt.

Der FS erkennt offenbar auch nicht, dass die beste Antwort seine eigentlich Frage gar nicht beantwortet. Aber nun gut.

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Nun habe ich das Ergebnis der zweiten Ableitung in die Ausgangsfunktion eingesetzt, um die y- Koordinate herauzukriegen. Das Ergebnis ist 11.

Du solltest x = -2 in die Ausgangsfunktion einsetzen um y = -11 herauszubekommen.

f(x) = (-2)² + 4(-2) - 7 = 4 - 8 - 7 = -11

Du brauchst aber keine Ableitungen, weder die Erste noch die Zweite. Kenntnisse der 9 Klasse über quadratische Funktionen langen aus.

f(x) = x² + 4x - 7

f(x) = x² + 4x + 4 - 4 - 7

f(x) = (x + 2)² - 11

Du hast eine nach oben verschobene Normalparabel mit dem Tiefpunkt im Scheitelpunkt bei (-2 | -11)

Avatar von 487 k 🚀

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