Bestimme alle Hoch - und Tiefpunkte des Graphen von f: f(x)= ½x^3 - 3x^2 + 6x - 3

Question

a)  f(x)= x²+2x

b)  f(x)= ½x³ - 3x² + 6x - 3

c)  f(x)= x⁴ - 4x³ + 4x²

Answer 1

a)

f ( x ) = x ² + 2 x

=>

f ' ( x ) = 2 x + 2

und

f ' ' ( x ) = 2

Extremstellen von f liegen höchstens dort vor, wo gilt: f ' ( x ) = 0

f ' ( x ) = 0

<=> 2 x + 2 = 0

<=> x = - 1

Also liegt höchstens bei x = - 1 eine Extremstelle vor. Da f ' ' ( x ) überall konstant positiv ist, liegt also bei x = - 1 tatsächlich ein Extremum , nämlich ein Tiefpunkt, von f ( x )  vor. Der Punkt hat die Koordinaten:

P ( - 1 | f ( - 1 ) ) = ( - 1 | - 1 )

 

b)

f ( x ) = ( 1 / 2 ) x ³ - 3 x ² + 6 x - 3

=>

f ' ( x ) = ( 3 / 2 ) x ² - 6 x + 6

und

f ' ' ( x ) = 3 x - 6

 

f ' ( x ) = 0

<=>  ( 3 / 2 ) x ² - 6 x + 6 = 0

<=> x ² - 4 x + 4 = 0

<=> ( x - 2 ) ² = 0

<=> x = 2

Also liegt höchstens bei x = 2 eine Extremstelle vor.

Da f ' ' ( 2 ) = 3 * 2 - 6 = 0 ist, muss eine Entscheidung mit Hilfe der dritten Ableitung getroffen werden. Diese ist:

f ' ' ' ( x ) = 3

also konstant positiv. Das bedeutet, dass an der Stelle x = 2 kein Hoch- oder Tiefpunkt, sondern eine Wendestelle mit horizontaler Tangente vorliegt. Wegen der postiven dritten Ableitung liegt an dieser Stelle eine Rechts-Links-Kurve von f ( x ) vor.

Einen Hoch- oder Tiefpunkt hat f ( x ) nicht .

 

c)

f ( x ) = x⁴ - 4 x³ + 4 x ²

=>

f ' ( x ) = 4 x ³ - 12 x ² + 8 x

und

f ' ' ( x ) = 12 x ² - 24 x + 8

 

f ' ( x ) = 0

<=> 4 x ³ - 12 x ² + 8 x = 0

<=> x = 0 oder 4 x ² - 12 x  + 8 = 0

<=> x = 0 oder x ² - 3 x  + 2 = 0

<=> x = 0 oder x = 1 oder x = 2

Also liegt höchstens bei x = 0 oder x = 1 oder x = 2 eine Extremstelle vor.

x = 0 :

f ' '  ( 0 ) = 8

=> bei x = 0 liegt ein Tiefpunkt vor. Koordinaten: P₀ = ( 0 | f ( 0 ) ) = ( 0 | 0 )

x = 1 :

f ' '  ( 1 ) = - 4

=> bei x = 1 liegt ein Hochpunkt vor. Koordinaten: P₁ = ( 1 | f ( 1 ) ) = ( 1 | 1 )

x = 2 :

f ' ' ( 2 ) = 8 

=> bei x = 2 liegt ein Tiefpunkt vor. Koordinaten: P₂ = ( 2 | f ( 2 ) ) = ( 2 | 0 )

Hier ein Schaubild von f ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x^4+-+4+x^3+%2B+4+x^2

Comments

=> bei x = 2 liegt ein Tiefpunkt vor. Koordinaten: P₀ = ( 2 | f ( 2 ) ) = ( 0 | 0 )

 

Übertragsfehler ;).

---

Pedant :-)

Hab's korrigiert - danke !

Übrigens:

Übetrtragsfehler ;).

Tippfehler :-)

Answer 2

Hi,

 

für Hoch- und Tiefpunkte bilde die erste und zweite Ableitung. Die hinreichende Bedinung ist

f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0.

a)

f'(x) = 2x+2

f''(x) = 2

f'(x) = 2x+2 = 0

-> x = -1

Das mit der zweiten Ableitung überprüfen. Da f(-1) = 2 > 0 -> Minimum.

x = -1 in f(x) einsetzen und man erhält T(-1|-1).

 

Das für die anderen genauso machen. Kontrolle:

b)

Keine Extrena

 

c)

T₁(0|0) und T₂(2|0)

H(1|1)

 

Grüße

Answer 3

Hier muss man die 1. Ableitung bilden und diese dann Null setzen, um das notwendige Kriterium für Extrema zu erfüllen. Anschließend kann man die 2. Ableitung bilden, um zu untersuchen, welche Art von Extrema vorliegt (hinreichendes Kriterium)

a)  f(x)= x²+2x

f'(x) = 2*x + 2 = 0 -> xE = -1, f''(x) = 2 > 0 -> hier liegt ein Minimum oder ein Tiefpunkt vor bei xE = -1 und yE = f(-1) = (-1)²+2*(-1) = -1

b)  f(x)= ½x³ - 3x² + 6x - 3

f'(x) = 3/2*x² - 6*x + 6 = x² - 4*x + 4  = 0

-> Mit p/q-Formel folgt die Lösung xE  = 2

f''(x) = 3*x - 6

 f''(2) = 3*2 - 6 = 0 -> hier liegt weder ein Minimum noch ein Maximum vor, f''(xE) nicht ungleich Null ist.

c)  f(x)= x⁴ - 4x³ + 4x²

f'(x) = 4*x³ - 12*x² + 8*x = x*(4*x² - 12*x + 8) = 0

-> xE1 = 0 oder 4*x² - 12*x + 8 = 0 <> x² - 3*x + 2 = 0 -> xE2 = 1 und xE3 = 2

f''(x) = 12*x² - 24*x + 8

für xE1 = 0: f''(0) = 12*0² - 24*0 + 8 = 8 > 0 -> hier liegt ein Minimum oder ein Tiefpunkt vor bei x = 0 und y = f(0) = 0

für xE2 = 1: f''(1) = 12*1² - 24*1 + 8 = -4 < 0 -> hier liegt ein Maximum oder ein Hochpunkt vor bei x = 1 und y = f(1) = 1 

für xE3 = 2: f''(2) = 12*2² - 24*2 + 8 = 8 > 0 -> hier liegt ein Minimum oder ein Tiefpunkt vor bei x = 2 und y = f(2) = 0