Hoch- und Tiefpunkte des Graphen f(x) = 2x^3-3x^2+1 bestimmen

Question

Kann mir jemand die Schritte erklären wie man hoch und tiefpunkte des graphen der funktion f bestimmt ?

f(x)= 2x^3-3x^2+1

lg

Answer 1

Hi,

Um die Hoch und Tiefpunkte zu bestimmen, bestimme die ersten beiden Ableitungen.

f(x) = 2x^3-3x^2+1

f'(x) = 6x^2-6x

f''(x) = 12x-6

Nun erste Ableitung 0 setzen (notwendige Bedingung)

f'(x) = 6x^2-6x = 0

6x(x-1) = 0

x_(1) = 0

x_(2) = 1

Damit in die zweite Ableitung (mit oberem ist das die hinreichende Bedingung)

f''(x_(1)) = -6   -> (Maximum)

f''(x_(2)) = 6    -> (Minimum)

Dann mit x_(1) und x_(2) in f(x) um die y-Werte zu erhalten:

H(0|1) und T(1|0)

Graphischer Überblick

~plot~ 2x^3-3x^2+1; [[-3|3|-3|3]] ~plot~

Grüße

Comments

also wenn man die 2 x werte von der notewendigen bedingung in die 2 ableitung einsetzt ist das dann die hinreichende ? Und kannst du mir noch sagen wozu man die not. und hinr. bedi. braucht außer für die Extremstellen? Wir haben das im Unterricht mit Monotonie gemacht also mit einer tabelle. lg

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Sry, ich war grad Haushalt machen ;).

Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0. Die hinreichende Bedingung ist f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0 ;). Damit kannst Du Extremstellen nachweisen. Gibt auch entsprechende Bedingungen für Wendepunkte, falls Du das meintest?

Was hast Du mit der Monotonie gezeigt? Dass nen Tief- oder Hochpunkt vorliegt?

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ja das habe ich mit der monotonie gezeigt geht das ?

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Die haben auch diese Tabelle benutzt bei der Monotonied

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Das kenne ich zwar nicht, sollte aber möglich sein. Halte es aber für recht aufwändig. Statt kurz die zweite Ableitung zu bilden eine Tabelle hinzukritzeln und abzuwägen, welche Art von Monotonie vorliegt. Wenn Dir die Anwendung der zweiten Ableitung nicht bekannt ist, musst Du es natürlich über die Tabelle machen. Sonst aber würde ich aber wohl die Ableitung vorziehen ;).

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dann mach ichs besser mit der 2ten ableitung ich werde jetzt eine aufgabe machen

fx=x^3-3x^2

kannst du mir dann sagen ob die richtig ist

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Genau mach mal und ich schau es mir an. Gleich eine Anmerkung zu Beginn.

Es ist nicht fx, sondern f(x) ;).

"f x" gegenüber "f von x"

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ah okay

f'(x) = 6x²-6x = 0

6x(x-1) = 0

x₁ = 0

x₂ = 1

wie bist du hier auf x1 und x2 gekommen ?

bin jetzt bei der 2ten ableitung auf

3x^2-6x=0

ausgeklammert

x(3x-6) und wie soll ich jetzt weiter ? danke

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f'(x) = 6x²-6x = 0

6x(x-1) = 0

x₁ = 0

x₂ = 1

In der zweiten Zeile habe ich mir die Faktoren angeschaut und gesehen, dass wenn x = 0 ist, dann wird auch der ganze Ausdruck 0. Selbiges wenn (x-1) = 0, also x = 1 gilt.

Das Deinige ist richtig. Ein Tick einfacher würde es werden, wenn Du noch die 3 mit ausklammerst. Ist aber nicht nötig. Man kann wie bei mir vorgehen :).

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also wenn ich das richtig verstanden habe dann müsste bei x(3x-6) rauskommen als ergebnis ? 

x1= 0

x2= -2

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Fast ;).

Wenn Du für x_(1) = 0 einsetzt, dann ergibt sich in der Tat 0.

Wenn Du aber x_(2) = -2 einsetzt, ergibt sich -2*(3*(-2)-6) = 24. Das passt also nicht.

Es ist x_(2) = 2, denn dann wird die Klammer 0.

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Also wenn ich es richtig verstanden habe ist es so das wenn man die zahl aus der klammer schreiben will dann ändert sich das vorzeichen =?

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Das ist in den meisten Fällen richtig, da man sich die Klammer so hinbaut.

Generell musst Du aber einfach den Klammerinhalt 0 setzen:

3x-6 = 0

3x = 6

x = 2

Theoretisch kann nämlich auch mal das Szenario (-3x+6) auftreten und man kann dann nicht "einfach das Vorzeichen umdrehen". Zumindest nicht auf Deine Art ;).

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okay verstanden. du schreibst

Dann mit x₁ und x₂ in f(x) um die y-Werte zu erhalten:

Meinst du damit Maximum und Minimum als x1 und x2 ? Und wo soll man die Werte einsetzten in welche Funktion ?

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Mit der ersten Ableitung schauen wir "kann ein Extremwert vorliegen". Wenn f'(x) = 0 ist, ist eine Möglichkeit dafür gegeben.

Mit der zweiten Ableitung schauen wir "Liegt ein Extremwert vor und wenn ja, welcher?". Wenn f''(x) > 0, dann Minimum. Für f''(x) < 0, dann Maximum. Für f''(x) = 0 muss man weiter untersuchen (möglicher Sattelpunkt).

Mit der Funktion nimmt man dann die gefundenen und untersuchten Stellen und findet die "Punkte", also die zugehörigen y-Werte. Erst dann kann man H(x_(1)|y_(1)) etc angeben :).

Einverstanden?

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ich verstehe aber nicht in welcher funktion du es eingesetzt hast um auf die Punkte zu kommen

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In die ursprüngliche. In f(x) ;).

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du hast H(0|1) und T(1|0) geschrieben ,aber warum T muss doch (0/1) sein oder? weil ist doch y wert 

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Genau. Das erste ist doch der x-Wert. Da hatten wir doch x_(2) = 1 als Minimum bestimmt. Aus f(1) = 0 haben wir dann T(1|0) erhalten.

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also das maximum und minimum sind sozusagen die Nullstellen oder wie soll ich das verstehen ?

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ah sry doch nicht. aber wozu braucht man denn maximum und minimum

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Nochmals langsam.

Du hast die Funktion f(x).

f(x) - Funktion

f'(x) - 1. Ableitung zur Überprüfung ob Extremstellen vorliegen

f''(x) - 2. Ableitung zur Bestätigung und Bestimmung der Art

f(x) - Zurück in die Funktion, um die y-Werte zu bestimmen und so die Punkte angeben zu können.

Dass einer der Extrempunkte zufällig auch nen Nullpunkt ist, ist egal. Siehst ja oben am Schaubild ;).

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Na da kannste Höchst- und Minimalbestände angeben. Bspw von iwelchen Populationen, Seen, etc. ;)

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Habe eine neue Aufgabe gemacht ist die richtig? Glaube aber falsch

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aber braucht man denn maximum und minimum weil in der aufgabenstellung steht bestimmen sie hoch und tiefpunkt des graphen der funktion f mithilfe von 1 und 2 ableitung. lg

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Also die Herangehensweise sieht ganz ok aus. Bei der pq-Formel hast Du aber das Minus vergessen, dass durch die Formel selbst kommt. Deswegen ist es nicht -3/2, sondern 3/2 vor der Wurzel.

Hochpunkt und Maximum, sowie Tiefpunkt und Minimum sind dasselbe ;). Nur andere Worte fürs Gleiche.

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Okay , aber du hast ja 6 und -6 rausbekommen und was bringt mir das jetzt wir haben damit doch gar nicht gearbeitet...

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Doch, das haben wir doch verwendet:

f''(x₁) = -6   -> (Maximum)

f''(x₂) = 6    -> (Minimum)

Nun haben wir gesehen, dass f''(x) ≠ 0 ist. Also ein Extremum vorliegt. Durch das Vorzeichen haben wir sogar erkannt welches. Also ob Hochpunkt oder Tiefpunkt.

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was bedeutet eigentlich dieses ungleich 0 wie kommt man darauf ob ein Extremum vorliegt?

Und falls kein Extremum vorliegt was soll man dann machen wie soll man weiterrechnen ?

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Das solltest Du aus Deinen Unterlagen wissen.

Hinreichende Bedingung für ein Extremum (also Hoch- oder Tiefpunkt) ist:

f'(x) = 0 und f''(x) ≠ 0

Und wenn man dann genauer hinschaut, ob es größer oder kleiner 0 ist, findet man auch heraus was für ein Punkt vorliegt.

Wenn Du keinen Extrempunkt vorliegen hast, mit der zweiten Ableitung, schauen wir uns lieber erst an, wenn Du obiges verstanden hast ;). Eins nach dem anderen.

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Verstehe es nicht! Wie machst du es fest das ein Extremum vorliegt ? Einfach gucken das Max und Min gegeben sind und was machst du dann mit 6 und -6 bei f''(x) ≠ 0

wie erkennt man das es ungleich 0 ist...

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Na, wenn es nicht 0 ist, dann ist es ungleich 0, oder? Und 6 bzw. -6 sind nicht 0.

Und wenn es ungleich 0 ist, ist es laut Definition ein Extremum.

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Achso jetzt kapiert ...danke

Okay und was wenn z.b 6 oder -6 z.b 6 und 0 wären dann ist es kein Extremum mehr und was muss mann dann machen =?

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Wenn Du x_(1) = 6 und x_(2) = 0 hast, dann ist x_(1) wie gerade eben zu behandeln. Denn dort haben wir ein Extremum.

Bei x_(2) musst Du genauer nachforschen. Bspw liegt eventuell ein Sattelpunkt vor (also ein Spezialfall des Wendepunkts). Am besten die dritte Ableitung kontrollieren. Ist diese ungleich 0, dann liegt in der Tat ein Sattelpunkt vor.

Alternativ kannst Du auch über Deine Monotonietabelle argumentieren ;).

Answer 2

f(x)= 2x³-3x²+1

f ' (x) = 6x² - 6x       f ' ' (x) = 12x - 6

f ' (x) = 0 <=>  x = 0 v x=1

f ' ' (0 ) = -6  <   0 ==>  Hochpu. bei H ( 0 ; 1 )

f ' ' (1) =  6 > 0  ==>  Tiefpu. bei H ( 1 ; 0 )