Hoch- und Tiefpunkte des Graphen f(x) = x^3-3x^2 bestimmen

Question

Kann mir jemand das detalliert erklären wie er vorgegangen ist ? lg

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Berechnung der Hoch- und Tiefpunkte f(x)=x^3 -3x^2

Stichworte: hochpunkt,tiefpunkt,ableitung

Für f(x)=x^3 -3x^2 sind die Nullstellen der ersten Ableitung x1 =0 x2 = 2.

EDIT: Ursprüngliche Version der Frage:

F(x)=x^3 -3x^2 sind die Nullstellen x1 =0 x2 = 2

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https://www.mathelounge.de/482591/hoch-und-tiefpunkte-des-graphen-f-x-x-3-3x-2-bestimmen

Answer 1

Nullstellen der Ableitung bestimmen und die

Ergebnisse in die 2. Abl. einsetzen.

Ist das pos., dann ist da ein Tiefpunkt,

bei negativ Hochpunkt.

Comments

ist das richtig H(0/0) T(0/-4) ?  

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Nicht ganz:

H stimmt, aber die 2. Nullstelle von f ' (x) ist 2

und f ' ' (2) = 3 , also Tiefpu. bei x=1 ist T ( 2 ; -4 ) .

Schau:    ~plot~ x^3-3*x^2 ~plot~

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aber in der Aufgabe stand das man keine Nullstellen rechnen braucht ?

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Stimmt, aber die Extremstellen sind die Nullstellen der 1. Ableitung.

Du brauchst also nicht die Nullstellen der Funktion, sondern

die von f' .

Answer 2

falls die Funktion so lautet:

$$f(x)=x^3-3x^2$$

Hier der Graph

~plot~ x^3-3x^2 ~plot~

lokale Extrempunkte:

$$\text{notw. Bed.}\\f'(x)=0\\f'(x)=3x^2-6x\\3x^2-6x=0\\{x}_{1}=0\\{x}_{2}=2\\\text{hinr. Bed.}\\f''(x)\neq 0\\f''(x)=6x-6\\f''(0)=-6<0 =>\text{Hochstelle}\\f''(2)=6>0 => \text{Tiefstelle}$$

Ich hoffe, das hilft weiter. Da die Punkt gesucht sind, musst du auch noch einmal die Punkte aufschreiben.

Gruß

Smity

Comments

Wie bereche ich die y werte davon

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Du setzt einfach die x-Werte in die Ausgangsfunktion ein. Also

x=2 und x=0 in f(x)=x^3-3x^2

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Du setzte die x - Werte der Extremstellen in die
Funktionsgleichung ein

f ( 0 ) = 0^3 -3*0^2 = 0
( 0 | 0 )
f ( 2 ) = 2^3 -3 * 2^2 = -4
( 2 | -4 )

Answer 3

f(x) = x^3 -3x^2

f ' (x) = 3x^2 - 6x = x* ( 3x-6)

f '  hat  die nullstellen x1 =0 x2 = 2.

Die musst du in f ' ' (x) einsetzen.  f ' ' (x) = 6x - 6

also f ' ' (0) = -6  < 0 ==>   bei x=0 ist ein H0chpunkt T(0;0).

f ' ' (2) = 6 > 0  ==>   bei x=2 ist ein Tiefpunkt H(2;-4).

Answer 4

F(x)=  x^3 -3x^2 sind die nullstellen x1 =0 x2 = 2

x^3 -3x^2 = 0
x^2 * ( x -3 ) = 0

x = 0
und
x - 3 = 0
x = 3

War das deine Frage ?

Comments

Das kannst du nicht unbedingt wissen.

https://www.mathelounge.de/530953/hoch-und-tiefpunkte-funktion-lautet-f-x-1-8x-4-1-3x-3-1

Man kann einfach mal annehmen, dass Ripper die Frage nochmals extrem abgekürzt hat.

Answer 5

f(x)= x³ -3x² hat die Nullstellen x₁ =0; x₂ =3.

f '(x)=3x²-6x hat die Nullstellen x_E1 =0; x_E2 =2

f ''(x)=6x-6; f ''(0)<0; f ''(2)>0

(0|0) ist Hochpunkt; (2|-4) ist Tiefpunkt.

Answer 6

Nullstellen der ersten Ableitung

x^3-3x^2

f'(x)=3x^2-6x.   |:3

f'(x)=x^2-2x

x1,2=-(-2/2)±√((-2/2)^2-0)

x1,2=1±1

x1=2

x2=0

Nullstellen der Stammfunktion: (brauchst du für Extremstellen nicht)

Satz vom Nullprodukt:

x^3-3x^2=0

x*(x^2-3x)=0

x=0

x^2-3x=0

x1=0

x2=3

Comments

Hallo Anton,

Deine Notation ist noch verbesserungwürdig.

f'(x) = 3x^2-6*x  |:3
Was machts du hier ? Du teilst einen
Funktionswert durch 3.
Die ist dann nicht mehr dieselbe Funktion
und muß einen anderen Namen als f ´ ( x )
bekommen. z.B. g ´( x ) = x^2 - 2x

Richtig ist so vorzugehen.
3x^2-6*x = 0 | : 3
x^2 - 2x = 0
x * ( x - 2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x -2 = 0
x = 2

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Ich habe dieses Thema noch nie in der Schule durchgenommen und es mir selbst beigebracht. Es tut mir Leid, wenn ich das Thema nicht 1000000%-ig Notationsgerecht wiedergeben kann. Das Wichtigste ist doch, dass der Fragesteller es versteht.

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Das finde ich problematisch. Wenn du das Thema nicht richtig beherrschst dann bringst du u.U. dem FS etwas falsches bei. Es ist definitv nicht in Ordnung bzw. sogar falsch die Ableitungsfunktion einfach durch 3 zu teilen.

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Nein.
Ich denke du bist auch in diesem Forum
um dich weiterzubilden.
Du hast zum Beispiel eine p/q-Formel
zur Lösung angewendet.
Diese ist komplizierter als den Satz vom
Nullprodukt anzuwenden.

Geht noch weiter.

Geht jetzt weiter.
ich weise dich gern auf Verbesserungs-
würdiges in deinen Anworten hin.
Bitte teile mir mit ob du das willst.
Nach meinen Erfahrungen kann man dadurch
nur lernen.

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Das finde ich problematisch. Wenn du das Thema nicht richtig beherrschst dann bringst du u.U. dem FS etwas falsches bei. Es ist definitv nicht in Ordnung bzw. sogar falsch die Ableitungsfunktion einfach durch 3 zu teilen.

Okay, das kann ich gut nachvollziehen! 

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Ich denke du bist auch in diesem Forum
um dich weiterzubilden.

Nicht nur deswegen. Ich bin außerdem hier, da ich Leuten gerne helfe und ich mich freue wenn sie dadurch auch lernen können.

ich weise dich gern auf Verbesserungs-
würdiges in deinen Anworten hin.
Bitte teile mir mit ob du das willst.
Nach meinen Erfahrungen kann man dadurch
nur lernen.

Demnach sehr gerne. Aber ich muss auch koffi's Kommentar berücksichtigen. Ich möchte durch meine Bildungslücken bei anderen keine auslösen durch Fehlinformationen. Deshalb korrigiert mich gerne, es hilft mir und dem FR.

Answer 7

F(x) x3 -3x2 sind die nullstellen x1 =0 x2 = 2

Nein, das ist nicht richtig.

Answer 8

  Ein glänzendes Beispiel für meine Schmuddeltricks.    Die Extremata schnitze ich dir ohne eine einzige Ableitung.

     f  (  x  )  =  x  ²  (  x  -  3  )     =       (  1a  )

                   =  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0        (  1b  )

          a2  =  (  -  3  )  ;  a1  =  a0  =  0     (  1c  )

     Diktat für Formelsammlung , Regelheft und Spickzettel ( FRS )

   " Eine gerade Nullstelle ( hier: doppelte im Ursprung ) ist stets ein LOKALES EXTREMUM. "

    "   Ein Polynom 3. Grades, das überhaupt Extrema hat, hat stets GENAU ein Minimum und ein Maximum. "

    " Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie; sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP. "

      Aus dieser Symmetrie folgt eine bemerkenswerte Mittelwertbeziehung, da die beiden Extrema offensichtlich dadurch zu Stande kommen, dass sie symmetrisch zu dem WP fallen; abermals FRS

       x  (  w  )  =  1/2  [  x  (  max  )  +  x  (  min  )  ]    (  2a  )

      f  (  w  )  =  1/2  [  f  (  max  )  +  f  (  min  )  ]      (  2b  )

     Hast du zwei der kritischen Punkte, folgt automatisch der dritte.  Ich will  doch offenbar sagen: Es gibt da einen Trick, schnell an den WP ranzukommen; und aus ( 2a ) folgt dann das  andere Extremum.

    In der Tat  wäre bei kubistischen Polynomen die 2. Ableitung ein Umweg. Ihr müsst allerdings stets darauf achten, dass das Polynom in Normalform   ( 1b )  gegeben ist - aber das kennt ihr ja. Abermals FRS

     x  (  w  )  =  -  1/3  a2  =  1  ===>  f  (  w  )  =  (  -  2  )  (  3  )

    Was liegt im Ursprung vor - Minimum oder Maximum?  Asymptotisch kommt das ( ungerade ) Polynom von ( - °° )  ( streng genommen, weil sein ===>  Leitkoeffizient positiv ist )   Als  entscheidend erweist sich natürlich,  dass zwischen Minimum und Maximum stets ein WP liegen muss -  LINKS von dem WP erwarten wir das MAXIMUM .

   Das Minimum folgt dann aus ( 2ab )  ( oder noch schneller im Kopf )

      (  x  |  y  )   (  min  )  =  (  2  |  -  4  )