Es sind auch f_ und g_ e T[a,b] und es gilt Integral (g_-f_)(x)dx <epsilon

Question

Wer kann mir dabei helfen? Ich hab wirklich gar keine Ahnung wie das gehen soll. Hoffentlich kann mir jemand helfen oder wenigstens sagen wie das geht. ich danke euch schonmal im Voraus.

Comments

T[a,b]  ist die Menege aller Treppenfunktionen und f,g sind jeweils Treppenfunktionen!

Answer 1

Hi,

dass \( f_-, g_- \in T[a,b]\) gilt, kannst du mit eurer Definition und Charakterisierung von Treppenfunktionen bestimmt schnell zeigen.

Der andere Teil verkümmert dann zu einem Einzeiler, da es sich darauf reduziert, dass

$$ g_-(x) - f_-(x) \leq g(x) - f(x) \quad \forall x \in [a,b] $$

zu zeigen ist.

Gruß

Comments

OK also f_ ist definiert als -f(x) falls f(x)<0 und 0 sonst. Analog für g_.

Ich hab die Definition, aber ich versteh sie nicht. Also es soll dann irgendwelche Unterteilungen geben für die f_ bzw. g_ dann kostant sind.

Kannst du mir das mal für dummies erklären?

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Schreib doch bitte eure Definition für Treppenfunktion auf und ich werde versuchen sie dir verständlich zu machen. Kannst natürlich schreiben was genau dir unverständlich ist.

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Also:

Eine Funktion f:[a,b] -> R heißt Treppenfunktion, falls es eine Unterteilung a=x0<x1<....<xn=b des Intervalls [a,b] gibt, sodass f auf jedem offenen Teilintervall ]xk-1,xk[ konstant ist.

Nun ich verstehe das eigentlich noch gar nicht, vielleicht fängst du bei Nul an ;) Ich weiß nicht was es sich mit der Unterteilung auf sich hat. Und wie sich das dann auf meine Aufgabe anwenden lässt.

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Ok der Definitionsbereich deiner Funktion ist das Intervall [a,b]. Eine Unterteilung des Intervalls bedeutet, dass du das Intervall in Teilintervalle einteilst wenn man diese Intervalle vereinigt erhält man wieder das ursprüngliche Intervall.
Ist die Funktion nun konstant auf diesen Teilintervallen, so zeigt sich bei der Zeichnung der Funktion, dass diese aus "Stufen" besteht, welche unterschiedlich hoch und breit sein können. Wegen dieser Stufen auch der Name "Treppenfunktion". Ein Beispiel wäre hier ersichtlich: https://de.wikipedia.org/wiki/Treppenfunktion#/media/File:Stepfunction1.png