Grenzwert einer Funktion mit mehreren Veränderlichen

Question

folgende Funktion ist gegeben:

(x²+y²)/(1-sqrt(x²+y²+1))

Es soll der Limes von (x,y) -> (0,0) berechnet werden.

Ich weiß, dass als Grenzwert -2 herauskommen muss.

Aber wie komme ich darauf?

Wenn ich z.B. y=0 setze komme ich ja auf x²/(1-sqrt(x²+1)), aber wie mach ich dann weiter?

DANKE!

Answer 1

Hi, ich würde erweitern, kürzen und und übergehen zu:
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+y^2}{1-\sqrt{x^2+y^2+1}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1+\sqrt{x^2+y^2+1}}{-1} = -2.$$Das ist zum Einen recht einfach und verlangt zum Anderen keine tiefergehenden Begründungen mehr.

Answer 2

(x^2 + y^2) / (1 - √(x^2 + y^2 + 1))

Substituiere

x = r·SIN(α)
y = r·COS(α)

= ((r·SIN(α))^2 + (r·COS(α))^2) / (1 - √((r·SIN(α))^2 + (r·COS(α))^2 + 1))
= r^2 / (1 - √(r^2 + 1))

L'Hospital

2·r / (- r/√(r^2 + 1)) = - 2·√(r^2 + 1)

Grenzwert für r --> 0

- 2·√(0^2 + 1) = -2

Answer 3

f ( x,y ) = (x²+y²)/(1-sqrt(x²+y²+1))

Wenn du lim ( x,y ) −> 0,0 einsetzt erhältst du 0 / 0

Dies ist ein Fall für l ´Hospital

nach x differenziert

(x²+y²) ´/ (1-sqrt(x²+y²+1)) ´

f x ´ = -2 * √ ( x^2 + y^2 + 1 )

lim ( x,y ) −> 0,0  [ -2 * √ ( x^2 + y^2 + 1 ) ] = -2

nach y differenziert kommt dasselbe heraus.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.