0 Daumen
691 Aufrufe

folgende Funktion ist gegeben:

(x²+y²)/(1-sqrt(x²+y²+1))

Es soll der Limes von (x,y) -> (0,0) berechnet werden.

Ich weiß, dass als Grenzwert -2 herauskommen muss.

Aber wie komme ich darauf?

Wenn ich z.B. y=0 setze komme ich ja auf x²/(1-sqrt(x²+1)), aber wie mach ich dann weiter?

DANKE!

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
Hi, ich würde erweitern, kürzen und und übergehen zu:
lim(x,y)(0,0)x2+y21x2+y2+1=lim(x,y)(0,0)1+x2+y2+11=2. \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+y^2}{1-\sqrt{x^2+y^2+1}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1+\sqrt{x^2+y^2+1}}{-1} = -2.Das ist zum Einen recht einfach und verlangt zum Anderen keine tiefergehenden Begründungen mehr.
Avatar von
0 Daumen

(x2 + y2) / (1 - √(x2 + y2 + 1))

Substituiere

x = r·SIN(α)
y = r·COS(α)

= ((r·SIN(α))2 + (r·COS(α))2) / (1 - √((r·SIN(α))2 + (r·COS(α))2 + 1))
= r2 / (1 - √(r2 + 1))

L'Hospital

2·r / (- r/√(r2 + 1)) = - 2·√(r2 + 1)

Grenzwert für r --> 0

- 2·√(02 + 1) = -2

Avatar von 491 k 🚀
0 Daumen

f ( x,y ) = (x²+y²)/(1-sqrt(x²+y²+1))

Wenn du lim ( x,y ) −> 0,0 einsetzt erhältst du 0 / 0

Dies ist ein Fall für l ´Hospital

nach x differenziert

(x²+y²) ´/ (1-sqrt(x²+y²+1)) ´

f x ´ = -2 * √ ( x2 + y2 + 1 )

lim ( x,y ) −> 0,0  [ -2 * √ ( x2 + y2 + 1 ) ] = -2

nach y differenziert kommt dasselbe heraus.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Avatar von 123 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage