Schwerpunkt der Fläche die von Parabel eingeschlossen wird?

Question

Aufgabe: 

Bestimmen Sie den Schwerpunkt der Fläche, die von der Parabel \( y = -x^2 - 2x \) und der x-Achse eingeschlossen wird.

Kann mir jemand den Rechnungsweg zeigen?

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Vorgehensweise:

- Nullstellen bestimmen (untere und obere Integrationsgrenze)

- Fläche berechnen mittels Integralrechnung

- Schwerpunkte ermitteln mittels Doppelintegral

xs = (1/A) ∫ ∫ x dx dy

ys = (1/A) ∫ ∫ y dx dy

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hilft mir grad nicht so weiter, ich muss den lösungsweg mal sehen damit ich das erst verstehe. Kannst du mir die mal vorrechnen?

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ich habe gerade versucht den Schwerpunkt auszurechnen
und bin auf das Ergebnis ( -1  |  2/5 )  gekommen.
Kennst du die Lösung ?

Dazu war bei mir notwendig : Umkehrfunktion bilden,
Flächenermittlung, Momentermittlung und dann
Moment durch Fläche.

Kann ich gern vorführen.

Answer 1

Für den Schwerpunkt gilt:

$$ \vec { s } =\frac { \int _{ A }^{  }{ \vec { r } dA }  }{ \int _{ A }^{  }{ dA }  } $$

$$ \int _{ A }^{  }{ \vec { r }  } dA=\int _{ -2 }^{ 0 }{ \left( \int _{ 0 }^{ f(x) }{ \vec { r }  } dy \right)  } dx $$

$$ \int _{ A }^{  }{ dA } =\int _{ -2 }^{ 0 }{ f(x)dx } =\frac { 4 }{ 3 } $$

$$ { x }_{ s }=\frac { 3 }{ 4 } \bullet \int _{ -2 }^{ 0 }{ \left( \int _{ 0 }^{ f(x) }{ x } dy \right)  } dx=\frac { 3 }{ 4 } \bullet \int _{ -2 }^{ 0 }{ x\bullet f(x) } dx=-1 $$

$$ { y }_{ s }=\frac { 3 }{ 4 } \bullet \int _{ -2 }^{ 0 }{ \left( \int _{ 0 }^{ f(x) }{ y } dy \right)  } dx=\frac { 3 }{ 4 } \bullet \int _{ -2 }^{ 0 }{ \frac { { f(x) }^{ 2 } }{ 2 }  } dx=\frac { 2 }{ 5 } $$

$$ \vec { s } =\left( \begin{matrix} -1 \\ \cfrac { 2 }{ 5 }  \end{matrix} \right) $$