Berechnen Sie den Schwerpunkt einer Fläche die zwischen den Graphen der Funktion eingeschlossen ist.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Schwerpunkt einer Fläche die zwischen den Graphen der Funktionen f(x) = \( x^{2} \)  und g(x) = x eingeschlossen ist.

Problem/Ansatz:

Ich hab es mal gezeichnet und weiss auch um welche Flächen es geht. Aber wie mache ich das am besten ohne, dass irgendwelche Grenzen gegeben sind?

Answer 1

zuerst bestimmst du die Integrationsgrenzen: \(f(x)=g(x) \longrightarrow x_1=0, \: x_2=1\).

Nun integrierst du, und erhältst \(A=\left | \displaystyle\int\limits_0^1 \left( x^2-x\right)\, dx\right |=\dfrac{1}{6}\).

Nun ist der geometrische Schwerpunkt dieser Fläche gesucht, für die x und y-Koordinate des Punkts S gelten die Formeln:

\(x_s=\dfrac{\displaystyle\int\limits_0^1 [x(x^2-x)]\,dx}{\displaystyle\int\limits_0^1 [x^2-x]\,dx}=\dfrac{1}{2} \\~\\ y_s=\dfrac{\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\limits_0^1 [(x^2)^2-(x)^2]\,dx}{\displaystyle\int\limits_0^1 (x^2-x)\,dx}=\dfrac{2}{5}\)

Somit lauten die Koordinaten unseres Schwerpunkts \(S(0.5|0.4)\).

Answer 2

A = \( \int\limits_{a}^{b} \) (f(x) -g(x))dx = \( \int\limits_{-1}^{1} \)  (x²-x)dx= 2/3

Comments

Du hättest vor der Antwort die Aufgabe lesen können...

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was meint er den mit Schwerpunkt??

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Wie kommst du denn auf -1 als untere Integrationsgrenze?

Ferner fehlen die Betragsstriche.

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Achso sorry Missverständnis