Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den Funktionsgraphen der Funktionen eingeschlossen wird.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Fläche, die zwischen den Funktionsgraphen der Funktionen \( f(x)=x^{3}- \) \( 3 x^{2}+x+4 \) und \( g(x)=x^{2}+x+1 \) eingeschlossen wird.

Ansatz/Problem:

Ich möchte gerne die Fläche berechnen, die von zwei Kurven eingeschnitten wird.

Ich habe zunächst überlegt, wie diese Graphen liegen, anschließend habe ich mir dann gedacht, dass die Schnittpunkte sozusagen die Intervallgrenze bilden.

Ich habe daher die beiden Gleichungen gleich gesetzt:

und bin dann auf x^3-2x^2+3 gekommen. Leider weiß ich an dieser Stelle nicht mehr weiter.

Answer 1

Hi,

der Ansatz ist doch schonmal richtig. Allerdings lautet die Differenzfunktion

h(x) = x^3-4x^2+3

Bestimme da nun die Nullstellen (Polynomdivision mit x-1, da x = 1 eine Nullstelle ist; gefolgt von pq-Formel/abc-Formel).

Da kommst Du auf die Nullstellen:

x_(1) = 1

x_(2,3) = 3/2 ± √(21)/2

Nun integiere in diesen Grenzen. Also von 3/2 - √(21)/2 bis 1 und von 1 bis 3/2 + √(21)/2.

Die Beträge dieser Integrale addiere um die Gesamtfläche zu erhalten.

Für ersteres erhalte ich: 3,53

Für letzteres erhalte ich betragsmäßig: 11,55

Die Gesamt eingeschlossene Fläche ist also 3,53 + 11,55 = 15,08

Grüße

Comments

Danke für die Antwort. Ich habe auch gerade festgestellt, dass ich mich beim Umstellen etwas verrechnet habe. Auf Polynomdivision mit gefolgter PQ Formel bin ich auch gekommen.

Wobei, eine Frage hätte ich noch:

Wir nehmen doch jetzt zum Integrieren: f(x)-g(x)

Also x³-4x²+3 ich komme für das erste Ergebnis aber nicht auf den passenden Wert ?!

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Es ist

f(x) = x^3-3x^2+x+4 und g(x) = x^2+x+1

f(x) - g(x) = x^3-3x^2+x+4 - (x^2+x+1) = x^3-3x^2+x+4 - x^2 - x - 1 = x^3 - 4x^2 + 3

Oder was meintest Du? ;)

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Genau und dann:

$$ |\int _{ -0,79 }^{ 1 }{ ({ x }^{ 3 }-4{ x }^{ 2 }+3) } |+|\int _{ 1 }^{ 3.79 }{ ({ x }^{ 3 }-4{ x }^{ 2 }+3) } | $$

oder liege ich hier falsch ?

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Nein alles richtig. Ich hatte mich beim Eingeben in den TR vertippt ;).

Habs oben verbessert. Hast Du nun die gleichen Werte?

Sehr gut, dass Du nachgerechnet hast! ;)

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Danke, die gleichen Werte habe ich auch