Integration: Fläche, die im Intervall -2 < x < 4 von f (x) = - 0,5 x² + 2 und der x-Achse eingeschlossen wird.

Question

Bestimmen Sie die Fläche, die im Intervall -2 < x < 4 von der Funktion f (x) = - 0,5 x² + 2 und der x-Achse eingeschlossen wird.

 

Ich bitte euch mit Zwichenschritten zu arbeiten um den Lösungsweg besser nachzuvollziehen.

danke, ein super Forum hier.

Answer 1

Nullstellen der Funktion sind -2 und 2.

Also muss ich das Integral zerlegen in

∫(-2..2) - 0,5 x² + 2 dx und ∫(2..4) - 0,5 x² + 2 dx

 

∫(-2..2) - 0,5 x² + 2 dx = [-0,5/3 * x^3 + 2 x]_-2² = [-0,5/3 * 2^3 + 2*2] - [-0,5/3 * (-2)^3 + 2*(-2)]

= -4/3 + 4 - 4/3 +4 = 16/3

 

∫(2..4) - 0,5 x² + 2 dx = [-0,5/3 * x^3 + 2 x]_-2² = [-0,5/3 * 4^3 + 2*4] - [-0,5/3 * 2^3 + 2*2]

= -32/3 + 8 + 4/3 -4 = -16/3

Negative Flächen sind Unsinn, also Betrag nehmen: 16/3

Gesamtfläche ist also 2 * 16/3 = 32/3.