Reihen und Konvergenz - Beweise oder widerlege

Question

Aufgabe:

\(  \sum \limits _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \) absolut konvergent \( \Rightarrow \sum \limits _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } ^ { 2 } \) konvergent.

Wie beweise ich das hier? Wie gehe ich da vor?

Reihe a_n ist absolut konvergent, daraus schließe ich, dass Reihe die Reihe a_n konvergent ist, denn jede absolut konvergente Reihe ist auch konvergent.

Auch ist mir klar: a_n ist kleiner gleich a²_n. Aber das hilft mir ja nicht unbedingt weiter oder etwa doch? Übersehe ich etwas?

Comments

Warum war noch mal an <= (an)^2 ?

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Weil das Quadrat immer größergleich ist?

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Also 0.5 <= 0.5^2 ??

Answer 1

Das kannst du mit Hilfe des Majorantenkriteriums zeigen.

Majorantenkriterium: Sei $$|a_k| \leq b_k$$ für alle k∈ℕ. Wenn $$\sum_{k=1}^{\infty} b_k $$ konvergiert, dann konvergiert die Reihe $$\sum_{k=1}^{\infty} a_k $$ absolut.

Wir wissen, dass die Reihe Σ_k a_k konvergiert, das heißt insbesondere, dass a_k eine Nullfolge ist, d.h. es gibt für jedes noch so kleine ε ein k₀, sodass a_k<ε für alle k>k₀. Insbesondere gibt es ein k₀, sodass für alle k>k₀ gilt, dass a_k<1, also a_k²<a_k und also auch |a_k²| = a_k² < a_k

Nun sind die Summen $$ \sum_{k=1}^{k_0} a_k $$ und $$\sum_{k=1}^{k_0} a_k^2$$ als endliche Summen auf jeden Fall endlich. Damit konvergiert mit $$\sum_{k=1}^{\infty} a_k $$ auch $$\sum_{k=1}^{\infty} a_{k+k_0}$$.

Aus dem Majorantenkriterium folgt dann die Konvergenz von $$\sum_{k=1}^{\infty} a_{k+k_0}^2$$ und damit die Konvergenz von $$\sum_{k=1}^{\infty} a_{k}^2 = \sum_{k=1}^{k_0} a_{k}^2+ \sum_{k=1+k_0}^{\infty} a_{k}^2\\ \ \ \ \ \ =\sum_{k=1}^{k_0} a_{k}^2+ \sum_{k=1}^{k+k_0} a_{k}^2$$

Da a_k² stets positiv ist, konvergiert die Reihe sogar absolut.