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zu 1) Die Summanden \(a_k=\left(\frac87\right)^k\) bilden keine Nullfolge:$$S_1=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac87\right)^k>\sum\limits_{k=0}^\infty1\to\infty$$
zu 2) Nach dem Leibniz-Kriterium ist es hinreichend für die Kovergenz von alternierenden Reihen (Summanden mit wechselnden Vorzeichen) \(\sum\limits_{k}(-1)^ka_k\), wenn die \(a_k\) eine monotone Nullfolge bilden:$$a_k=\frac{3}{\sqrt k}\stackrel{(k\to\infty)}{\to}0\quad\checkmark$$$$a_{k+1}-a_k=\frac{3}{\sqrt{k+1}}-\frac{3}{\sqrt k}=\frac{3\sqrt k-3\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}\cdot\sqrt{k+1}}<0\implies a_{k+1}<a_k\quad\checkmark$$Die Reihe konvergiert aber nicht absolut. Stell dir vor, du würdest die Summations-Reihenfolge ändern, dass zuerst alle positiven Summanden addiert werden, dann wächst die Summe ins Unendliche und du kommst nie bis zu den negativen Summanden.
zu 3) Hier würde ich das Quotientenkriterium bemühen:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{(k+1)^2\left(\frac45\right)^{k+1}}{k^2\left(\frac45\right)^k}\right|=\frac45\frac{(k+1)^2}{k^2}=\frac45\left(1+\frac1k\right)^2\stackrel{(k\to\infty)}{\to}\frac45<1\quad\checkmark$$Die Reihe konvergiert absolut.
zu 4) Hier würde ich die Summe abschätzen. Dazu verkleinern wir im Nenner jeden Faktor um \(1\), woduch sich natürlich der gesamte Nenner verkleinert und der Bruch größer wird:$$\phantom=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k!}{3\cdot5\cdot7\cdots(2k+1)}<\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{k!}{2\cdot4\cdot6\cdots(2k)}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\cdot\frac{k!}{1\cdot2\cdot3\cdots k}$$$$=\sum\limits_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k\stackrel{(\text{geom. Reihe})}{=}\frac{1}{1-\frac12}=2$$Die Reihe konvergiert absolut.
