Potenzreihenentwicklung von f(x)=1/3√(27+x3) richtig gelöst?

Question

Man gebe die ersten drei Glieder der Potenzreihenentwicklung von

$$ \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ 27+{ x }^{ 3 } }  } $$
an. Was ist der Konvergenzradius der Potenzreihe?

Lösungsansatz:
$$ \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ 27(1+\frac { { x }^{ 3 } }{ 27 } ) }  } $$

mit $$ z=\frac { { x }^{ 3 } }{ 27 } $$ folgt $$\frac { 1 }{ 3{ (1+z) }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } } =\frac { 1 }{ 3 } (1-\frac { 1 }{ 3 } z+\frac { 1*4 }{ 3*6 } { z }^{ 2 }-\frac { 1*4*7 }{ 3*3*3*6 } { z }^{ 3 })$$
=>$$ \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ 27+{ x }^{ 3 } }  } =\frac { 1 }{ 3 } -\frac { 1 }{ 9 } *\frac { { x }^{ 3 } }{ 27 } +\frac { 2 }{ 27 } *\frac { { x }^{ 6 } }{ { 27 }^{ 2 } } -\frac { 14 }{ 243 } *\frac { { x }^{ 9 } }{ { 27 }^{ 3 } } $$
wenn man z wieder auflöst.

für den Konvergenzradius hab ich dann
$$\left| z \right| <1$$
$$\left| \frac { { x }^{ 3 } }{ 27 }  \right| <1$$
$$\left| { x }^{ 3 } \right| <27$$
$$x<3$$

Vielen Dank für Antworten

Answer 1

Die Reihe sieht gut aus.

Für den Konvergenzradius musst du beachten, dass x³ betragsmäßig kleiner als 27 sein soll, das heißt

$$-3<x<3$$

bzw. für komplexe Zahlen x einfach nur

$$|x|<3.$$