Fordert man, dass die Wirkung $$S = \int \text{d}t ~ L(t, u(t), u'(t))$$ stationär unter infinitesimalen Variationen der gesuchten Funktion u(t) sei, dann folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen
$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial u'} - \frac{\partial L}{\partial u} = 0,$$
die für die Lösung u(t) identisch erfüllt sein müssen.
Berechnen wir für die gegebene Lagrangefunktion $$L(t, u, u') = \frac{m}{2} u'^2 + \frac{k}{2} u^2$$ also die benötigten partiellen Ableitungen:
$$\frac{\partial L}{\partial u'} = mu' \\ frac{\partial L}{\partial u} = -k u$$
Die EL-Gleichungen lauten also
$$m u'' + ku = 0\\ u'' = -\frac{k}{m} u$$
Das ist die Bewegungsgleichung eines harmonischen Oszillators der Frequenz $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$ Die allgemeine Lösung lautet also
$$u(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$$
und angepasst an die Anfangsbedingungen:
$$u(t) = u_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)$$
