Grenzwert bestimmen von Funktion. lim x-->0,5π (cosx)² / ( x² - πx + π²/4)

Question

Hallo

ich soll den Grenzwert für folgende funktion bestimmen:

lim x-->0,5π   (cosx)² / ( x² - πx + π²/4)

mein ansatz war 0,5π für x einzusetzen.  dabei kommt 0 für den nennen heraus. dann dachte ich an die polynomdivision. allerdings weiß ich nicht wie ich (cosx)² : (x-0,5π) rechnen soll.

kann mir jemand weiterhelfen? danke

Comments

l'hospital ?

Answer 1

Hi,

lim x-->0,5π   (cosx)² / ( x² - πx + π²/4)

= cos(0,5pi)² / (0,5pi²-pi*0,5pi+pi²/4)

= 0/0, also l'h, also Zähler und Nenner getrennt(!) ableiten ;)

lim_x->0,5pi -2cos(x)*sin(x) / (2x-pi)

lim_x->0,5pi (-2cos(0,5pi)*sin(0,5pi) / (2*0,5pi-pi)

= 0/0, weiter ableiten

lim_x->0,5pi (2(sin²(x)-cos²(x)) / 2

= 2/2

= 1

Also ist der Grenzwert 1, aber ich bin mir nicht sicher. Ich bin erst in der 11. Klasse, deshalb Angaben ohne Gewähr. Auf die Notation musst du mal selber schauen..

Comments

Fehlerhinweis

= 2/2
= 2

besser
=1

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ja, ich habe mich vertippt, danke für den hinweis.

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hmm also an ableiten hab ich jetzt gar nicht gedacht, bin das nochmal durchgegangen:

(cosx)² / ( x² - πx + π²/4)   = (cosx)(cosx) / ( x² - πx + π²/4)

1 Abl :   (-sinx)(-sinx) / (2x-π)              da 2•0,5π-π= 0  -> weiter ableiten

2.Abl:  (-cosx)(-cosx) / x          -->    (-cos0,5π)(-cos0,5π) / 0,5π

              9.283 / 0,5 π = 6,23

 also ist mein grenzwert jetzt 6,23?   ich versteh nicht ganz wie du (cosx)² abgeleitet hast

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Hi,

zu aller erst: Ist dein TR auf Rad gestellt? Wenn nicht, stelle es mal auf Rad um.

zu der Ableitung von cos(x)²:

cos(x)² ist ja nichts anderes als cos(x)*cos(x)

bleiben wir mal bei der schreibweise cos(x)*cos(x)

wir verwenden die Produktregel zu ableiten (ich denke ist klar, wieso?)

f'(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)

wähle:

u(x)=cos(x)

u'(x)=-sin(x)

v(x)=cos(x)

v'(x)=-sin(x) 

Nun einsetzen:

f'(x)= -sin(x)*cos(x)+(-sin(x)*cos(x))

= -sin(x)*cos(x)-sin(x)*cos(x)

= -2cos(x)*sin(x) 

Alles klar?

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oweia wo waren meine gedanken.

alles klar, konnte es nachvollziehen.

danke dir :)

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Gerne :)                                                          .

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( cos ( x ) )^2 kann man auch über die Kettenregel ableiten
( äußere Ableitung * innere Ableitung )
äußere Ableitung : 2 * cos ( x )
innere Ableitung : [ cos (x ) ] ´ = -sin(x)
[ ( cos ( x ) )^2 ] ´ =
2 * cos ( x ) * -sin ( x )

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danke für die ergänzung.