Mittelpunkt und Radius von Kreis mit drei Punkten bestimmen

Question

Gegeben sind die Punkte A = (5;7), B = (-2;0), C = (2;-2). Diese drei Punkte liegen auf einem Kreis. 

Wie kann ich nun Mittelpunkt und Radius dieses Kreises berechnen?

Answer 1

Allgemeine Kreisgleichung aufstellen:

(x - a)² + (y - b)² = r²  mit M(a|b)

Punkte A, B und C in die Kreisgleichung einsetzen und die Koordinaten (a und b) des Mittelpunkts M bestimmen.

Dann einen Punkt hernehmen und den Radius berechnen.

Ergebnis zur Kontrolle:

a = 2
b = 3
r  = 5

Comments

Korrekt. Hier die Grafik dazu via Geozeichner: 

Answer 2

xm = 2 , ym = 3  ===> r = 5 !

r² = xm² +ym²  - A  =  4 +9  -(12) = 25  

r =√25 = 5  !!

Brauchst du den Rechenweg ?

Comments

Hast du xm und ym auf die selbe Weise wie Bepprich berechnet? Sonst wäre ich froh, wenn du mir den Rechenweg auch noch notieren könntest. 

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Rechenweg , ok!

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Ansatz !!

A - 5B - 7C   =  - 74

A +2B           = - 4

A -2B  +2C  = - 8

-------------------------

1 .und 2 .Gleichung    , 2.Gl  mal -1 

A -5B  - 7C  = - 74

-A - 2B         =   4

-------------------------

    -7B - 7C  =  - 70

1. und 3. Gleichung 

A -5B  - 7C    =  - 74

-A  - 2B + 2C   = - 8      *  ( -1)

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        - 3B  - 9C   =  - 66        * ( - 7)

        - 7B  - 7C   = - 70         *  (3)

-------------------------------------------

       21B   + 63 C  = 462

     -  21 B  - 21C   = - 210

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                    42 C   =  252    ===>  C  =  6 

      21 B + 63 C   =  462  ----->    21B =  84 

                                                             B = 4

  A    -  5B  - 7C   =   - 74 

  A     - 20    - 42  =  -74    ------->  A =  - 12

xm =  B/2 =  4/2 = 2      ,     ym = C/2  =  6/2  =  3   →  r²  = xm² +ym² -A =  4 +9+12 = 25

r = √ 25 = 5  !!

 

Answer 3

Hier einmal den ersten Rechenschritt


Dann 2 minus 3 rechnen.
Dann hast du 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.


mfg

Answer 4

Du kannst auch den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AB und BC berechnen,

dann hast du schon mal den Kreismittelpunkt.

Mittelsenkrechte von AB z.B.

Steigung von AB  m= ( 7-0) / ( 5-(-2) = 1  also Mittelsenkrechte  hat Steigung -1 / m  = -1

und geht durch  (5+(-2)) / 2   ;   ( 7+0) / 2  also durch     (1,5 ; 3,5 )

also ist die Geradengleichung der Mittelsenkrechten

y = mx+n  also  3,5 = -1 * 1,5 + n    also n=5

damit   y= -x + 5

andere Mittelsenkrechte so ähnlich und dann Schnittpunkt.

Comments

Wie kamst du auf die Formel für die Berechnung vom Punkt (1.5; 3.5)?

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bh812: Den Mittelpunkt einer Strecke kannst du berechnen, indem du separat den Durchschnitt der x- und der y-Koordinaten ihrer beiden Endpunkte berechnest.