Wurzelgleichung lösen. Warum nicht einfach quadrieren?

Question

 

Hallo :)

warum kann ich bei solch einer Gleichung nicht einfach quadrieren? Als Ergebnis bekomme ich -4,5, wenn ich dieses einsetze ist die Gleichung nicht lösbar (logisch, negative Wurzel). 

Wie soll ich stattdessen vorgehen? Dachte das dort vielleicht eine binomische Formel drin steckt... also (4x+6)^1/2-(2x+4)^1/2=1 aber wie dann weiter?

Answer 1

Du hast wahrscheinlich bei einmaligen Quadrieren die Wurzeln einfach  beide aufgelöst.  Das geht so nicht. Betrachte dass du die ganze Seite Quadrieren musst und nicht jeden  einzelnen summanden.  Das heißt einmal binomische Formel,  dadurch bleibt aber noch eine Wurzel. Deswegen Term nach der Wurzel umformen und dann wieder Quadrieren.  Dann müsstest du ein Polynom 2. Gerades erhalten dass du auflösen musst.  

Vergiss auch hier nicht.  Anschließend Ergebnisse durch die einsetzten überprüfen. 

Answer 2

√(4·x + 6) - √(2·x + 4) = 1

quadrieren

4·x + 6 - 2·√(4·x + 6)·√(2·x + 4) + 2·x + 4 = 1

2·√(4·x + 6)·√(2·x + 4) = 6·x + 9

nochmals quadrieren

4·(4·x + 6)·(2·x + 4) = (6·x + 9)^2

32·x^2 + 112·x + 96 = 36·x^2 + 108·x + 81

4·x^2 - 4·x - 15 = 0

Mitternachts-Formel

x = 5/2 ∨ x = - 3/2

Lösungen prüfen und die richtige nehmen

x = 5/2

Comments

oh danke, habe beim quadrieren einfach nur die wurzeln weggelassen... kannst du mir fürs verständnis vll. noch erklären warum das nicht geht?

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Beachte binomische Formeln:

(a - b)^2 ≠ a^2 - b^2

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In diesem Zusammenhang: https://www.matheretter.de/wiki/mathefehler

Answer 3

Das geht mit ein wenig umformen

(4x+6)^1/2-(2x+4)^1/2=1

(4x+6)^1/2 = 1 + (2x+4)^1/2   (jetzt quadrieren, Achtung: re. Seite binomische Formel)

4x + 6 = 1 + 2*(2x+4)^1/2  + 2x + 4

2x + 1 = 2*(2x+4)^1/2 

x + 1/2 = (2x+4)^1/2   (wieder quadrieren)

x² + x + 1/4 = 2x + 4

x² - x - 15/4 = 0

Mit pq-Formel

x_1/2 =  1/2 ± √((1/4) + 15/4)) = 1/2 ± 2 -> x₁ = 2,5 und (x₂ = -1,5)

Probe:

(4*2,5+6)^1/2-(2*2,5+4)^1/2=1

(16)^1/2- (9)^1/2=1

4 - 3 = 1

1 = 1 -> ok für x₁

und

(4*(-1,5)+6)^1/2-(2*(-1,5)+4)^1/2=1

(0)^1/2-(1)^1/2=1

-1 = 1 -> x₂ ist keine Lösung

Comments

dankeschön, der rest ist easy