Hallo Forum-Mitglieder,
ich habe eine kleine nette Aufgabe gefunden! Dabei soll man folgende Aufgabe mithilfe des Zwischenwertsatzen beweisen:
Ein runder Mamorkuchen bestehe auch 50% hellem un 50% dunklen Anteil. Kann er mit einem geraden Schnitt durch den Mittelpunkt immer so getrennt werden, dass in beiden Hälften immer noch 50% heller und 50% dunkler Anteil vorhanden ist? Man darf davon ausgehen, dass stetig ist und die genaue Verteilung des Teigs bekannt ist.
Meine Idee:
Man nehme an, bei dem Mamorkuchen handle es sich um einen gutartigen idealen Kuchen. Dann können wir den Mittelpunkt dieses Kuchens doch auch in den Ursprung des Koordinatensystems legen. Nun können wir den Anteil des weißen Kuchens in der negativen Häfte des Kuchens :=A und den Anteil des weißen Kuchens in der positive Hälfte des Kuchens:=B betrachten.
Fall1: Wenn nun die Anteile in beiden Häften gleich 50% sind, dann sind wir fertig.
Fall2: Man nehme nun an, A<0,5 und g:= Rest des weißen Anteils. Dann definieren wir nun eine Funktion f, die jedem y-Wert eine Gerade G(Y) zuordnet, sodass G(y) die negative Häfte teilt und das so, dass der Winkel zwischen der y-Achse und und G(y) minimal ist. Jede dieser Geraden teilt folglich auch die andere positive Häfte des Kuchens in zwei Teile (wobei die leere Menge auch als eine Zahl definiert ist ). Nun definieren wir die Abbildung:
A(Y)= Anteil des weißen Anteils oberhalb von G(Y)- Anteil des weißen Anteilsunterhalb von G(Y)
Die Aufgabenstellung sagt aus, dass wir annehmen können, dass die Funktion stetig ist. Nun können wir die Gerade so legen (das ist unter Beachtung unserer Annahmen total trivial), dass einmal oberhalb mehr bzw. weniger ist, sodass wir mit dem Zwischenwertsatz folgern können, dass eine Nullstelle existieren muss! Also haben wir die Aussage gezeigt.
Stimmt mein Ansatz oder muss man die Aufgabe ganz anders angehen?
LG
Orbi
