Funktion g(x)=((x-4)*(x^2+3x-4))/(x^2-1) auf lokale Extrema untersuchen.

Question

da ich in Mathe leider richtig richtig schlecht bin will ich die Sommerferien etwas nutzen um ab und zu mal die ein oder andere Aufgabe zu lösen. Dabei bin ich auf eine Aufgabe gestoßen, die unter anderem folgende Teilaufgabe enthält:

Folgende Funktion habe ich gegeben:

g(x)=((x-4)*(x²+3x-4))/(x²-1)

Nun soll ich laut Aufgabenstellung herausfinden, ob die Fkt. lokale Extrema besitzt.

Also habe ich erstmal ganz normal die erste Ableitung gebildet: f'(x)=(x²+2x+16)/((x+1)²)

Um die Extrema zu bestimmen, muss ich f'(x) gleich Null setzen.

Nun weiß ich ja auch, das ein Bruch Null wird, wenn der Zähler gleich Null ist, also:

x²+2x+16=0

Nun benutze ich einfach ganz normal die pq-Formel:

x_1/2=-1±(1-16)^-1/2

       =-1±(-15)^-1/2

Da die Diskriminate negativ ist, kann ich das im Bereich der reellen Zahlen ja nicht mehr lösen. Ist das schon der Beweis dafür, dass die Funktion keine lokalen Extrema besitzt? Wie schreibe ich das dann am besten mathematisch korrekt hin?

Oder muss ich das jetzt im Bereich der kompl. Zahlen berechen? (die hat unser Mathelehrer nämlich auch eingeführt, deswegen bin ich mir nicht sicher.......)

LG, Laura

Answer 1

Die Funktion hat keine Hoch- oder Tiefpunkte

~plot~ ((x-4)*(x^2+3*x-4))/(x^2-1) ~plot~

Comments

Okay Dankeschön :-)

Aber wie schreibe ich das am besten mathematisch korrekt hin?

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Nun soll ich laut Aufgabenstellung herausfinden, ob die Fkt.
lokale Extrema besitzt.

Die Funktion hat keine Hoch- oder Tiefpunkte
( Stellen mit waagerechter Tangente )

Im Übrigen hast du eine recht umfangreiche 1.Ableitung
fehlerfrei hinbekommen.

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Hier mal ein Plot mit sinnvollerer Skalierung:

~plot~x-1-15/(x+1); x-1; x=-1 ;[[ -5 | 5 | -50 | 50 ]]~plot~
Eingezeichnet sind auch die Asymptote (rot) und die Polgerade (grün).

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Ersteinmal mein Lob für den schönen Graph.

Mein Plot ist natürlich dagegen etwas mickrig und diente auch nur zur
Darstellung in der Fragestellung nach dem Vorhandensein von Extrempunkten.

Answer 2

Komplexe Zahlen kommen auf der x-Achse des Koordinatensystems nicht vor und sind daher für Kurven im 2-dim. Koordinatensystem nicht vor. Du kannst davon ausgehen, das g(x) als reelle Funktion anzusehen ist, wenn da nicht ausdrücklich etwas anderes steht. 

Nun: Deine Rechnung ist ja praktisch fertig. 

Die Theorie zur Diskriminante kannst du hier nachlesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante#Diskriminante_einer_quadratischen_Gleichung

x²+2x+16=0

Diskriminante D = b^2 -4ac = 4 - 4*16 < 0

==> Es gibt keine lokalen Extremalstellen. fertig.

Beachte noch, dass deine Funktion g heisst, dann heisst es auch 

g'(x)=(x²+2x+16)/((x+1)²)

Comments

Hi, es ergibt sich weiter:

g'(x) = (x²+2x+16) / (x+1)² = ( (x+1)^2 + 15 ) / (x+1)²   ≠    0

für alle x aus dem Definitionsbereich, so dass
g keine lokalen Extremstellen haben kann.

Noch einfacher geht das nach der Vereinfachung

g(x) = x - 1 - 15 / (x+1)   und

g'(x) = 1 + 15 / (x+1)²   ≠    0.

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hh913: Danke für die schöne Ergänzung.